Рубежный тестовый контроль

1. Необходимость решения нелинейных алгебраических уравнений вызвана

1. использованием необходимых и достаточных условий экстремума;

2. использование необходимых условий экстремума для функций нескольких переменных;

3. использованием необходимых условий экстремума в задачах как непосредственного отыскания экстремума функций, так и применением градиентных методов;

4. спецификой исследования на экстремум функций многих переменных.

2. В основу метода Ньютона

1) положена идея линеаризации целевой функции;

2) положено уравнение

,

3) положено уравнение

;

4) положен метод последовательных приближений.

Глава II. Условный экстремум функций

Введение

Существует большое количество практических задач, в которых требуется отыскать экстремум целевой функции при условии, что переменные, входящие в выражение целевой функции должны удовлетворять некоторым алгебраическим уравнениям (ограничениям типа равенств) или неравенствам (ограничения типа неравенств). В общем случае могут иметь место ограничения как те, так и другие. Это и есть задача на условный экстремум.

1. Условный экстремум функций при ограничениях типа равенств (Задача Лагранжа)

Требуется указать такие значения , при которых целевая функция

достигает минимума при условии, что

, .

Введем в рассмотрение вектор и тогда поставленная выше задача сводится к отысканию такого вектора x, при котором целевая функция

(2.1)

достигает минимума при условии, что

, . (2.2)

Выясним прежде всего, чем вызвано содержащееся в (2.2) ограничение на количество уравнений . Этих уравнений, как это следует из условия , должно быть всегда меньше количества неизвестных . Действительно, допустим, например, что имеет место равенство, т.е. – количество уравнений совпадает с количеством неизвестных . В таком случае из n уравнений можно в принципе определить все n неизвестные. Таким образом, оптимизационная задача исчезает, т.к. она предполагает отыскание лучшего варианта среди возможных, а возможные варианты в таком случае отсутствуют. Соответствующие объяснения существуют и для случая , которые здесь приводить не будем.

Задача (2.1), (2.2) решается в следующей последовательности.

Формируется вспомогательная функция

, (2.3)

где вектор , – так называемые множители Лагранжа. Функцию исследуем на безусловный экстремум по переменным ; , т.е. найдем такие переменные которые обеспечивают локальный минимум функции (2.3), считая, что эти переменные никаким условиям типа (2.2) или каким-либо другим удовлетворять не должны. Решение задачи такого типа рассмотрено в разделе 1.4. Для функции (2.3) запишем необходимые условия экстремума

, ; (2.4)

, . (2.5)

Согласно (2.3) далее имеем

, ; (2.6)

, . (2.7)

Кроме необходимых условий (2.6), (2.7) следовало использовать и достаточные условия. Желающих исследовать достаточные условия адресуем, например, к источнику [4], а здесь лишь заметим, что работа с достаточными условиями является очень обременительным делом и при решении прикладных задач практически себя не оправдывает. Наличие минимума или максимума функции в точке, определяемой уравнениями (2.6), (2.7), можно установить с помощью элементарных пробных вычислений.

Итак, если локальный минимум функции (2.3) существует, то, решив уравнения (2.6), (2.7), мы его отыщем.

Покажем теперь, что задачи (2.1), (2.2) и (2.3), (2.6), (2.7) эквивалентны. Действительно, при выполнении (2.6), (2.7) и , что и требуется по постановке задачи.