Максимизация скорости набора высоты самолета в установившемся режиме полета на заданной высоте
На рис. 2.1. изображен самолет и система сил на него действующая.
Н
а
рис. 2.1 h
– высота полета, x,
y
– система координат, V
– скорость полета,
– угол наклона скорости к горизонту,
– угол атаки, P
– тяга двигателя, X
– сила лобового сопротивления, Y
– подъемная сила.
Поскольку полет установившийся, то сумма проекций всех сил на оси x и y должна быть равна нулю, т.е.
; (2.8)
Известно [5], что
;
, (2.9)
где зависимости
,
(2.10)
предполагают
заданными,
– плотность,
и т.к. h
– задана, то
– const;
S
– площадь крыла. При фиксированной
высоте тяга есть известная функция
скорости полета, т.е.
. (2.11)
Как следует из рис. 2.1, скорость набора высоты
. (2.12)
Считая высоту фиксированной, определим такие значения параметров V, , ,
при которых скорость
набора высоты
(2.12) достигнет максимума.
В заданной задаче
,
,
т.е.
;
;
.
Необходимые условия (2.6), (2.7) имеют следующий вид
;
;
; (2.13)
Уравнения (2.13) можно решить с помощью обобщенного метода Ньютона, см. раздел 1.6.
Задача о консервной банке
Поставим задачу об определении диаметра и высоты такой цилиндрической консервной банки, которая имела бы наперед заданный объем и минимальную площадь всей поверхности.
М
инимум
поверхности выливается в минимизацию
расхода материала, из которого
изготавливается банка, и антикоррозионных
покрытий как снаружи, так и изнутри
банки.
Для банки, изображенной на рис. 2.2 последовательно запишем:
объем
,
(2.14)
площадь всей поверхности
. (2.15)
Найти такие r и h, чтобы при заданном объеме V площадь S (2.15) достигала минимума.
Согласно (2.3) формируем вспомогательную целевую функцию
,
где
– множитель Лагранжа, и записываем
необходимые условия минимума функции
в виде
(2.16)
Из последнего уравнения системы (2.16) находим, что
,
при таком из первого уравнения системы (2.16) имеем:
. (2.17)
Итак, оптимальная банка должна иметь диаметр, равный ее высоте.
Далее, привлекая ограничение (2.14) и соотношение (2.17), находим, что
.
Таким образом, искомые радиус r и высота h равны:
,
. (2.18)
В заключение заметим, что можно аналогичным образом решать задачу о банке, имеющей минимальную длину сварного шва или минимальный объем при заданной площади всей поверхности и т.д. Может быть рассмотрена и банка иной формы, нежели цилиндрическая.