Наблюдатель при цветном шуме наблюдения

При цветном шуме наблюдения задача линейного оптимального оценивания решается также преобразованием ее в задачу линейного оптимального оценивания с белыми шумами. Пусть объект и наблюдение описываются уравнениями

; ; (8.28)

, (8.29)

где V₀ - белый шум с интенсивностью Q₀;

x⁰ - случайный вектор с характеристиками

;

z - шум наблюдения подчиняется уравнению

; (8.30)

- белый шум с интенсивностью .

Шумы V₀ и W не коррелированны со случайным вектором x⁰ , но могут быть коррелированны между собой:

Из (8.29), (8.30) получаем

Введем новый вектор наблюдения

. (8.31)

После подстановки выражений для и получим

y = Cx + V_H , (8.32)

где

. (8.33)

В преобразованном уравнении наблюдения (8.32) шум V_H является белым. Его называют обобщенным шумом наблюдения.

Интенсивность R₀(t) и взаимная интенсивность S₀(t) определяются таким образом:

. (8.34)

Если матрица R₀ не вырождена, наблюдатель Калмана-Бьюси описывается соотношениями (8.24) - (8.26), где матрицы C, R₀ и S₀ определяются из (8.33) - (8.34). Вектор наблюдения y вычисляется из (8.31). В него входит производная . Для избежания дифференцирования вводят линейное преобразование

Продифференцировав это уравнение по времени и подставив выражения для из (8.24) и для y из (8.31), получим

Принимая во внимание предыдущее уравнение, имеем:

Из этого уравнения вычисляется , а затем находится искомая оценка.

Пример 8.1. Определить оптимальную оценку скалярной постоянной по измерениям , где - белый шум с интенсивностью r₀. До начала измерения известны следующие характеристики x: . Искомая величина и шум независимы.

Решение. Уравнение «системы»:

.

Наблюдатель Калмана-Бьюси описывается уравнением

где ; p – определяется из дисперсионного уравнения и подставляется в выражение для

p = - p² / r₀ ; p(t₀) = p₀ .

p = p₀ r₀ / (r₀ + p₀t) ; k⁰ = p₀ / (r₀ + p₀t).

Пример. 8.2. Найти оптимальную оценку по наблюдению y=x₁+V_H , где V_H – белый шум с интенсивностью r₀. Уравнение динамического объекта и начальные условия:

₁ = x₂ ; x₁ (t₀) = x₁⁰ ,

где x₂ - стационарный случайный процесс с характеристиками

;

x₁⁰ - случайная величина с характеристиками

Mx₁⁰=0; M(x₁⁰)²=p₀.

Шумы x₂ ,V_H и случайная величина x₁⁰ не коррелированны между собой.

Решение. Путем преобразования Фурье корреляционной функции находим спектральную плотность шума объекта

,

откуда передаточная функция формирователя равна:

.

Следовательно, уравнение формирователя имеет вид

,

где V₀ - белый шум с нулевым средним и единичной интенсивностью.

Наблюдатель Калмана-Бьюси описывается уравнениями

;

,

где

Дисперсионное уравнение имеет вид:

или в скалярной форме, учитывая, что p₁₂=p₂₁:

Пример 8.3. Пусть объект и наблюдение описываются скалярными уравнениями:

Шум наблюдения имеет следующие характеристики:

Решение. Уравнение формирователя (см. пример 8.2), очевидно, будет иметь вид

В данном случае

поэтому из (8.33), (8.34) находим

Так как S₀=0, k⁰ и p определяются из (8.27):