8.4. Стохастическая линейная оптимальная система управления при неполной информации. Принцип разделимости

Пусть объект и наблюдение описывается уравнениями

(8.35)

критерий оптимальности имеет вид

(8.36)

Шумы V₀ и V_H являются белыми с интенсивностями Q₀(t) и R₀(t) соответственно; начальное состояние x₀ - случайный вектор со средним значением и матрицей дисперсии . Матрицы R(t) и R₀(t) положительно определены.

Задача состоит в определении такой функции (функционала)

(8.37)

при которой критерий оптимальности принимает минимальное значение.

Оптимальный закон управления имеет вид

где - матрица, определяемая из уравнения

(8.38)

- линейная оптимальная оценка, получаемая наблюдателем Калмана-Бьюси:

Соотношения (8.37), (8.38) совпадают с соотношениями, определяющими оптимальный регулятор в задаче синтеза стохастических линейных оптимальных систем управления с полной информацией с той лишь разницей, что здесь вместо вектора x используется его оценка .

Таким образом, стохастический линейный оптимальный регулятор состоит из линейного оптимального наблюдателя и детерминированного оптимального регулятора. Этот результат известен как принцип разделения или принцип стохастической эквивалентности.

В соответствии с этим принципом задача синтеза стохастической линейной оптимальной системы управления при неполной информации о состоянии разбивают на две:

• задачу синтеза линейного оптимального наблюдателя;

• детерминированную задачу синтеза оптимальной системы.

Если шумы и начальное состояние подчиняются гауссовскому закону распределения, то соотношения (8.37) - (8.39) определяют стохастический оптимальный регулятор, т.е. регулятор, оптимальный в классе всех систем, а не только линейных.

На рис. 8.3 приведена функциональная схема оптимальной системы управления.

Рис 8.3. Стохастическая оптимальная система управления

8.5. Основные результаты раздела

Для объекта, описываемого уравнением

, ,

где -белый шум, такой, что , , оптимальное уравнение , минимизирующее функционал

,

удовлетворяет уравнению Беллмана

, (8.39)

которое для открытого множества можно представить в виде системы уравнений:

, (8.40)

(8.41)

с граничным условием .

Для линейной стохастической системы

,

с теми же характеристиками шума и при квадратическом критерии

(8.42)

оптимальное уравнение при полной информации определяется из уравнения

,

где матрица определена из уравнения Риккати

, . (8.43)

Для линейной стохастической системы с неполной информацией о состоянии:

где - гауссовские белые шумы с характеристиками

; ,

; ,

,

; ,

где , , ,

оптимальное управление, минимизирующее квадратический функционал (8.43) равно

,

где в силу принципа разделимости определяется из уравнения Раккати (8.43), а – оценка состояния системы определяется из уравнения наблюдателя Калмана-Бьюси

; ,

где ;

; ; .

ЗАДАЧИ

1. Найти закон управления объектом

; ; ,

где - белый шум с интенсивностью , а функционал качества имеет вид

.

2. Построить оптимальный наблюдатель для объекта ; ; , где и - случайные процессы типа белый шум с интенсивностями , соответственно.

3. Выполнить синтез оптимального управления для стохастической системы

; ; ,

где , , - белые некоррелированные шумы с интенсивностями 0.5, 1.0, 1.0 соответственно, , , .

Минимизируемый функционал имеет вид

.

4. Рассматривается двухкамерная модель «поглощение лекарства и метаболизма», описанная в задаче 22 раздела 6. Уравнения этой модели имеют вид:

, , .

В начальный момент вектор имеет гауссовское распределение с нулевым математическим ожиданием и матрицей ковариации . Наблюдается величина .

При заданных и управлении найти матрицу ковариации ошибки оценивания вектора и определить её предельное значение при .

5. Найти функцию Беллмана и оптимальное управление с обратной связью (С-уравнение) в линейно-квадратической задаче:

, ,

,

где , , , , , - заданные постоянные, – гауссовский стандартный белый шум.

6. Решить задачу 5 в предположении, что оптимальное управление строится в виде функционала от , где , , – гауссовский стандартный белый шум.

7. Найти оптимальное управление и функцию Беллмана для скалярных систем на отрезке :

а) б)

где - гауссовский стандартный белый шум.