1.2. Принцип суперпозиции электрических полей

Основная задача электростатики формулируется следующим образом: по заданному распределению в пространстве источников поля - электрических зарядов - найти значение вектора напряжённости Е во всех точках поля. Эта задача может быть решена на основе принципа суперпозиции электрических полей:

Напряжённость электрического поля системы зарядов равна геометрической сумме напряжённостей полей каждого из зарядов в отдельности.

Заряды могут быть распределены в пространстве либо дискретно, либо непрерывно. В первом случае напряжённость поля для системы точечных зарядов

Е = ,

где E _i – напряжённость поля i-го заряда системы в рассматриваемой точке пространства, n - общее число дискретных зарядов системы.

Если электрические заряды непрерывно распределены вдоль линии, то вводится линейная плотность зарядов :

 = (dq/dl),

где dq — заряд малого участка длиной dl.

Если электрические заряды непрерывно распределены по некоторой поверхности, то вводится поверхностная плотность зарядов :

 = (dq/dS),

где dq— заряд, расположенный на малом участке поверхности площадью dS.

При непрерывном распределении зарядов в каком-либо объёме вводится объёмная плотность зарядов :

 = (dq/dV),

где dq— заряд, находящийся в малом элементе объёма dV.

Согласно принципу суперпозиции напряжённость электростатического поля, создаваемого в вакууме непрерывно распределёнными зарядами:

Е = dЕ = ,

где dE - напряжённость электростатического поля, создаваемого в вакууме малым зарядом dq, а интегрирование проводится по всем непрерывно распределённым зарядам.

Рассмотрим применение принципа суперпозиции к электрическому диполю.

Электрическим диполем называется система из двух равных по абсолютной величине и противоположных по знаку электрических зарядов (q>0 и –q), расстояние l между которыми мало по сравнению с расстоянием до рассматриваемых точек поля. Вектор l, направленный по оси диполя от отрицательного заряда к положительному, называется плечом диполя. Вектор p _e= ql называется электрическим моментом диполя (дипольным электрическим моментом). Напряжённость поля диполя в произвольной точке Е = Е₊ + Е _-, где Е₊ и Е _- - напряжённости полей зарядов q и -q (рис.1.2).

В точке А, расположенной на оси диполя на расстоянии r от его центра (r>>l), напряжённость поля диполя в вакууме

Е_А = .

В точке В, расположенной на перпендикуляре, восстановленном к оси диполя из его середины, на расстоянии r от центра (r>>l)

E_В = .

В произвольной точке С модуль вектора напряженности

,

где r - величина радиуса-вектора, проведенного от центра диполя к точке С;  - угол между радиусом-вектором r и дипольным моментом р_е (рис.1.2).

1.3. Поток напряжённости. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

Элементарным потоком напряжённости электрического поля сквозь малый участок площадью dS поверхности, проведённой в поле, называется скалярная физическая величина

dN = EdS = EdScos(E,n) = E_ndS = EdS_,

где Е — вектор напряжённости электрического поля на площадке dS, n - единичный вектор, нормальный к площадке dS, dS = dSn - вектор площадки, Е_n = Ecos(E,n) - проекция вектора Е на направление вектора n, dS_ = dScos(E,n) - площадь проекции элемента dS поверхности на плоскость, перпендикулярную вектору Е (рис.1.3).

Теорема Гаусса: Поток напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность пропорционален алгебраической сумме электрических зарядов, охватываемых этой поверхностью.

= ,

где все векторы dS направлены вдоль внешних нормалей к замкнутой поверхности интегрирования S, которую часто называют гауссовой поверхностью.