37.Арифметические операции с пределами функций
Теор: арифм. операции с пределами ф.
Пусть
Х⊂𝑅
g(x)
=А
=B
1.
=А+B
2.
=А*B
3.
=C*А
4.
=А/B
при
В≠0
Док-во:если воспользоваться определением предела по Гейне, то эти утв следуют из аналогичных св-в для соотв. послед-тей.
Зам-ие:
38.Односторонние пределы
Пусть в мн-ве Х⊂𝑅 задана ф
1утв.А
наз lim
справа для ф в т.а, те
=А,
если
(
<
2утв.
А наз lim
справа для ф в т.а, те
=А,
если
(
>
при этом lim
наз односторонние пределы
Теор:об однозначных пределах
Для
того,чтобы у ф-ции действительного
перменного сущ-ал такой предел необх.
И достаточно, чтобы сущ-али односторонние
пределы
,
при
этом
39.Бесконечно малые и бесконечно большие величины
Опр1.
Ф.
,где
х⊂Х
наз беск малой при х→а если
=0,
те(
<
Ф.
,где
х⊂Х
наз беск. большой при х→а если
=0,
те(
Зам-ие:сами
по себе понятия беск. малой и беск.
большой ф-ции в математике не сущ-ет.Эти
понятия вводятся при опр усл:
,
где а-МБ несобственное число(
Прим.
1сл:
=
-
беск малая
2сл:
=
-
беск большая
3сл:
:
=
-
беск малая
Опр2.Пусть
бесконечно
малые величины х→а. Введем понятие:1)величина
наз бесконечно малой более высокого
порядка малости чем
если
=0;
2)Если =С;С≠0,то наз величинами одного порядка малости.
3)Если
=1,
то
наз эквивалентными бесконечно малыми
величинами (
)
4)Если
сущ-ют конечные числа С≠0 и К>0 такие,
что
=1,то
говорят,что
имеет
порядок малости К по отн к х-а.
наз
главной частью бесконечно малой
Теор:о представлении бесконечно малой
главная
часть бесконечно малой
при
то
представима в виде:
о-более высокого порядка малости
Док-во:
=1→
(обе
части
=
числитель более высокого порядка малости
чем знаменатель
чтд
Прим1.
беск малые при х→1
=
=
=
=0
вывод
Прим2.
;
беск малые при х→8
=
=
=12
вывод
наз величинами одного порядка малости.
Прим3
беск малые при
=1-
первый замечательный предел
40.Непрерывность функции
Опр.
f:
(а,в)→𝑅
наз непрерывной в т.
если
равен
значению ф в этой точке,те
f: (а,в)→𝑅наз непрерывной на мн-ве (а,в) если она непрерывна в каждой т. этого мн-а
Теор:арифметические св-ва непрерывных ф-ий
Пусть
f:
(a,b)→𝑅
g:
(a,b)→𝑅
непрерывные ф в т.
⊂мн-ву
(а,в), тогда f(x)+g(x),
f(x)g(x),
непрерывны
в т
Док-во:
f(x)g(x)
непрерывны в т
,где
,
,тогда
по т.об арифм операциях над пределами
=
непрерывна
=
=
Теор:о непрерывности сложной ф-ции
Пусть
у→
непрерывна
а в т.
;
непрерывна
в т.
,тогда
сложная ф
непрерывна в т.
Зам-ие:все элементарные ф-ции вкл обратные тригонометрические и гиперболические непрерывны в т.,в которой опред их значения
Пр1.у=
непрерывна
для любого х как сумма 2х ф
Пр2.у=
непрерывна
для любого х как произв 2х ф
Пр3.у=
непрерывна
во всех т кроме х=0 как частное 2х ф
Пр4у=
непрерывна
как сложн ф 2х непрерывных ф
41.Односторонняя непрерывность
Опр. Пусть f: (a,b)→𝑅 ф действительного переменного
Утв1.
ф f(x)наз
непрерывной справа в т.
если
или
Утв2.
. ф f(x)наз
непрерывной справа в т.
если
или
Непрерывность ф слева и справа наз
односторонней непрерывностью.
Теор.Связь односторонней непрерывности с непрерывностью
f(x)непрерывна в т. ,тогда когда одновременно непрерывна справа и слева в этой т
Док-во
=
Зам-ие:из опред односторонней непрерывности следует,что для f: [a,b]→𝑅 в т.х=а можно опред только непрерывность справа, а в т.х=в только непрерывность слева.