46.Дифференцирование функций
Опр1.
f:
(a,b)→𝑅
наз дифференцированной в т.
если
её приращение в этой т. можно представить
в виде (А=const
действ переменного от ∆х) ∆f(
)=А∆х+
→0,∆х→0
f: (a,b)→𝑅 наз дифференцированной на (а,в) если она диф в каждой т этого мн-ва
Теор:Условия диф функций одного переменного
Для того,чтобы f: (a,b)→𝑅 наз диф в т. необх и достаточно чтоб она имела в этой т.конечную произв
Док-во:1)Необходимость
диф
в т.
это значит: ∆f(
)=А∆х+
А=const,
→0,∆х→0
∆f(
)=А+
А=
=
2)Достаточность
Пусть
в
сущ-ет
,т.е
,тогда
можно зап:
-
=
,где
→0,∆х→0│*∆х(груп
слаг)
∆f(
)=
+
диф
в т.
Теор: непрерывность диф функции
47Дифференциал.
Пусть
ф y=f(x)
определена на промежутке Х и диф в
некоторой окрестности х
Х.Тогда
сущ-ет коенчная произв
=
На
осн т. о связе беск малых величин с
пределами можно записать:
=
+
,где
∆у=
т.о приращение ф ∆у состоит из 2х
слагаемых:линейного относительного
∆х,нелинейного
Опр.Дифференциалом ф-ции наз главная,линейная отн ∆х часть приращения ф-ции,равная произведению производной на приращение независимой переменной
Пр.Найти диф ф-ции у=х
dy=dx=
∆x
dx=∆x
т.е диф независимой переменной равен
приращению этой переменной.зап в виде
dy=
)dx
)=
Геом смысл дифференциала.
Возьмём на гр ф y=f(x)произвольную т.М(х,у),дадим аргументу х приращение ∆х,тогда ф получит приращение∆у= f(x+∆х)- f(x)
Из
∆MKN:KN=MNtg
=∆xtg
=
)∆x
∆y=KN
Т.о
дифференциал ф-ции есть приращение
ординаты касательной,проведенной к гр
ф в данной т,когда х получает приращение
∆х
С-ва дифференциала
dc=0;
d(cu)=c
du;
d(u
)=du
d
;
d(u
)=
du+ud
;
d(
)=
;
;d(ctgx)=
Инвариантность формы дифференциала
Пусть
х=
у=f(
=
(
)
(t)=
=
(x)
)dt
dy= (x)dx
(x)
;
48Дифференциалы высших порядков
Диф
порядка
ф y=f(x)
наз диф от дифференциала (n-1)ого
порядка этой ф,т.е
y=d(
y)Найдём
выражение
.
По опред
.Так как dх
не зависит от х,т.е по отн к переменной
х является постоянной величиной,то
множитель dх
можно вынести за знак диф-ала,т.е
в общем виде:
Диф-ал
n
порядка равен произведению производной
n
порядка на n
степень диф-ала независимой переменной
49.Дифференцирование ф-ции заданной параметрически.
Опр.Пусть зависимость между переменными х и у задана с поощью 2х ур-ий: х=х(t);у=у(t)(*)
Пусть ур-е х=х(t) разрешимо отн t ,т.е t выражается через х с помощью ур-я t=t(x).Подставляя значения в ур-е у=у(t) получим зав-ть от х: у=у(t(х))в этом случае система ур-ий (*) наз параметрическим заданием ф у=у(х),а аргумент t наз параметр
Предположим,что
х(t),у(t)достаточное
число раз диф, тогда найдем
сист. Ур-ий:
так
параметрически задается 1 производная
Вычисл
2й производной по х(
:
=
=
Пр:Найти
ф-ции
у=у(х),заданной параметрически:
a=const
=
=
=ctg
t/2
=
=
=
=-
=
=
При
каждом диф не нужно забывать делить на
50.Основные теоремы диф-ого исчисления
Теор Ролля: Пусть для f: [a,b]→𝑅 выполняется:
1)f(x) непрерывна на [a,b]
2)
f(x)
диф-ма на (а,в)
3)f(a)=f(b),тогда
сущ-ет т.
(а,в),такая
что f(
)=0т.е
сущ-ет касателная к кривой у= f(x)║оси
х
Теор Коши для диф-мых ф-ций
Пусть f: [a,b]→𝑅 и g: [a,b]→𝑅 удовл условия:
1)f(x),g(x) непрерывны на (а,в)
2)
f(x),g(x)
диф-мы на
[a,b],
тогда сущ-ет т.
(а,в),такая
что
Док-во:рассмотрим вспомогательную ф
(*)h(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)
h(a)=[f(b)-f(a)]g(a)-[g(b)-g(a)]f(a)= f(b)g(a)-f(a)g(a)-g(b)f(a)+g(a)f(a)=f(b)g(a)-g(b)f(a)
h(b)=[f(b)-f(a)]g(b)-[g(a)-g(b)]f(b)= f(b)g(b)-f(a)g(b)-g(b)f(b)+g(a)f(b)=f(b)g(a)-g(b)f(a)
h(a)=h(b)удовл всем усл. Т.Ролля,тогда сущ-ет т. (а,в),такая что а’(Ѯ)=0
диф выр-ие (*)[f(b)-f(a)]g’(Ѯ)-[g(b)-g(a)]f ’(Ѯ)=0
Теор Лагранжа: Пусть для f: [a,b]→𝑅 выполняется:
1)f(x) непрерывна на [a,b]
2) f(x) диф-ма на (а,в),тогда сущ-ет т. (а,в),такая что
f(b)-f(a)=f ’(Ѯ)(b-a)-формула Лагранжа
Док-во: Положим g(x)≡x по т.Коши
Геом интерпритация:касательная ║хорде tg совпадает
Теор:Формула Коши
Пусть f: [a,b]→𝑅 и g: [a,b]→𝑅 удовл условия:
1)f(x),g(x) непрерывны на [a,b]
2) f(x),g(x) диф-мы на (а,в)
3)Для
всех х
(а,в)
выполняется g’(х)≠0,
тогда сущ-ет т.
(а,в),такая
что
=
Док-во:по т.Коши для диф-мых ф сущ-ет т.Ѯ такая, что
[f(b)-f(a)]g’(Ѯ)-[g(b)-g(a)]f ’(Ѯ),где g’(Ѯ)≠0
Мы
утв g(b)-g(a)≠0,предположим,что
это не так, то вып усл по т.Ролля сущ-ет
т.х
(а,в)
и g’(х)=0,
что не удовл нашей теории, тогда
g(b)-g(a)≠0
=
чтд