Лекция 7 методи розв’язку диференціальних рівнянь та їх систем. Розв'язання систем лінійних алгебричних рівнянь із допомогою жорданових виключень

Запишемо співвідношення (1.3.1) у вигляді жордановой таблиці:

	x1	x2	...	xn
b1=	a1,1	a1,2	...	a1,n
b2=	a2,1	a2,2	...	a2,n
...	...	....	...	.....
bm=	am,1	am,2	...	am,n

Умовимося стовпець таблиці називати ненульовим, якщо серед чисел, що перебувають у ньому, є відмінне від нуля; у противному випадку стовпець буде називатися нульовим.

Переведемо за допомогою жордановых виключень максимальну кількість невідомих у ліву частину таблиці; отриманий результат досліджуємо.

Випадок 1. У таблиці не виявилося жодного розв'язного елемента (усе ). Якщо серед коефіцієнтів виявиться хоч один відмінний від нуля, то система несовместна. Якщо ж всі , то система має як рішення будь-який набір чисел .

Випадок 2. У таблиці розв'язні елементи виявилися й у результаті жордановых виключень ліворуч від таблиці виявилися тільки невідомі , а над таблицею всі вільні члени й кілька невідомих . У цьому випадку кожне з можна, дешифруючи відповідні рядки в таблиці, виразити лінійно через ті , які залишилися розташовані над таблицею. Виникає запис загального рішення.

Випадок 3. Те ж, що у Випадку 2, але тільки над таблицею змінних не залишилося, а ліворуч від таблиці розташовані все . У цьому випадку, дешифруючи рядка, ми одержимо точні значення невідомих . Система - певна.

Випадок 4. У результаті максимального числа жорданових виключень ліворуч від таблиці залишилися константи. Дешифруючи кожний рядок таблиці, ліворуч від якої коштує константа, на-до одержати рівність і з'ясувати його справедливість. Якщо хоч одне з таких рівність виявиться суперечливим (типу «5=6»), то система несовместна. У противному випадку виникне система рівностей, що описують загальне рішення.

Швидке перетворення Фур'є.

У попередньому пункті було описано дискретне перетворення Фур'є - зіставлення набору значень функції набору коефіцієнтів . Процес цього зіставлення в деяких випадках можна прискорити, спеціальним образом організувавши відповідні підсумовування.

Звернемося, для визначеності, до формули (7.2.3а). Припустимо, що число є складовим, тобто при натуральних . Розділимо з остачею число на й число (індекс підсумовування) на ; одержимо: . Помітимо, що в позначеннях, що утворилися, підсумовування по еквівалентне повторному підсумовуванню за схемою:

;

перетворимо тепер сумируемое вираження:

уведемо позначення:

;

тоді вираження (7.2.3а) представляється у вигляді:

.

Зовсім аналогічно можна провести міркування з коефіцієнтом , у результаті чого знову виникнуть ті ж ; у підсумку вийде:

звідси виникає співвідношення:

Звідси виникає інша можливість обчислення дискретного перетворення Фур'є, відмінна від прямого обчислення: треба спочатку знайти вираження , а потім уже самі числа ; буде потрібно, як неважко помітити, менше арифметичних операцій. Звідси й назва - «Швидке перетворення Фур'є.»