2 Скорость и ускорение точки Скорость точки

Определим скорость точки в случае, когда ее движение задано естественным способом, т. е. известны ее траектория АВ, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения точки (рис. 9.4).

Рис. 9.4 Рис. 9.5

Пусть в момент времени t точка занимает положение М, а в момент t₁=t+Δt - положение М₁, Дуговые координаты этих точек имеют следующие значения:

.

Приращение дуговой координаты .

Проведем из произвольного центра О’ в точку М радиус-вектор и определим скорость точки в момент t по формуле:

.

Введем в качестве промежуточной переменной дуговую координату s, от которой зависит радиус-вектор движущейся точки. Действи­тельно, каждому значению s соответствует определенное значение , т. е. можно рассматривать не только как функцию t, но и как функ­цию s, полагая . Тогда

.

Здесь

.

Вектор направлен так же, как вектор . При его направление стремится к направлению касательной, проведенной из точки М в сторону увеличения дуговой координаты s. Модуль этого вектора стремится к единице:

.

Таким образом, вектор имеет модуль, равный единице, и направлен по касательной к кривой в сторону увеличения дуговой координаты. Вектор d /ds является ортом этого направления. Обозначим этот орт (рис. 9.5):

. (9.1)

Пользуясь формулой (9.1), получаем вектор скорости в виде

. (9.2)

Производная ds/dt в выражении (9.2) представляет собой проек­цию скорости на касательную, т. е. определяет алгебраическую величину скорости.

Условимся алгебраическую величину скорости обозначать симво­лом , а модуль скорости - v. Тогда

, (9.3)

а

, (9.4)

т. е. модуль скорости равен абсолютному значению производной от ду­говой координаты точки по времени.

Орт касательной , как показано выше, всегда направлен в сто­рону увеличения дуговой координаты.

Если в некоторый момент времени ds/dt > 0, то в этот момент функция s возрастает, т.е. точка движется в сторону увеличения s и направление скорости совпадает с направлением орта (рис. 9.6, а). Если ds/dt < 0, то в этот момент функция s убывает в направление скорости противоположно направлению орта (рис. 9.6, б).

Рис. 9.6

Если, непрерывно изменяясь, производная ds/dt при переходе через значение ds/dt=0 изменяет знак, то дуговая координата s в этот момент времени достигает максимума или минимума, т. е. изменяется направ­ление движения точки.

Таким образом, знак =ds/dt указывает направление движения точки по траектории. При движении точки в сторону возрастания дуговой координаты ds/dt > 0, т. е. во все моменты времени, а потому модуль скорости

. (9.5)