Лекция 10 простейшие движения твердого тела

1 Поступательное движение твердого тела

Различают пять видов движения твердого тела:

1) поступательное;

2) вращательное;

3) плоское, или плоскопараллельное;

4) сферическое;

5) общий случай движения твердого тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки этого те­ла, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Точки твердого тела, совершающего поступательное движе­ние, перемещаются как по прямолинейным, так и по криволи­нейным траекториям.

Пример 1. Автомобиль движется на прямолинейном участке. Кузов ав­томобиля движется поступательно. Траекториями всех точек кабинки являются прямые линии.

Пример 2. Колесо обозрения вращается во­круг горизонтальной оси. Во время вращения кабинки находятся в верти­кальном положении, т. е. совершают поступательное движение. Траектория­ми движения всех точек кабинки яв­ляются окружности (рис. 10.1).

Рис. 10.1

Поступательное движение твердого тела характеризуется заданием дви­жения одной его точки, обычно цен­тра тяжести, и может быть задано лю­бым из изученных способов. Для за­дания поступательного движения тела и декартовой системе координат дос­таточно записать: . Эти выражения будут зако­ном поступательного движения.

Основные свойства поступательного движения твердого тела определяются теоремой:

При поступательном движении твердого тела все его точки описывают одинаковые траектории и в каждый момент вре­мени имеют одинаковые по величине и направлению скоро­сти и ускорения.

Рис. 10.2

Скорость и ускоре­ние твердого тела на­ходят по формулам, применяемым в кине­матике точки.

Пример 3. Точка А шарнирного четырехзвенника ОАВО₁ движется по закону м (рис. 10.2). Определить скорость и ускорение точки С стержня АВ, если АС = ВС, О₁В = ОА = 0 4 м, t = 2 с.

Решение. Стержень АВ совершает поступательное движение, так как в любой момент времени прямая АВ остается параллель­ной самой себе. Следовательно, скорости и ускорения точек А, B, С будут одинаковы:

м/с,

м/с²,

м/с²,

м/с².

Ответ. м/с, м/с².

2 Вращательное движение твердого тела

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвиж­ными в рассматриваемой системе отсчета.

Эта неподвижная прямая называется осью вращения. Точки тела, не принадлежащие оси вращения, двигаются в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, описывая окружности с цен­трами на этой оси.

Направим ось Z по оси вращения (рис. 10.3). Проведем через ось две полуплоскости: неподвижную (Н) и жестко связанную с телом подвижную (П). Положение тела будет определено, если задан угол между полуплоскостями в за­висимости от времени: . Этот угол называют углом поворота тела. Для однозначного определения положения тела необходимо кроме величины знать на­правление отсчета угла поворота. Положительным направлением отсчета считают по­порот тела против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси OZ. Угол пово­рота измеряют в радианах. Если известно число оборотов N за какой-то промежуток времени, то угол поворота равен:

. (10.1)

.

Рис. 10.3

Угловая скорость характеризует быстроту и направление изме­нения угла поворота в данный момент времени. Величина угловой скорости равна первой производной от угла поворота по времени:

.

Знак производной определяет направление вращения. Если (о > 0, то вращение происходит против хода часовой стрелки. Ес­ли со < 0, то вращение — по ходу часовой стрелки.

Угловое ускорение характеризует быстроту и направление изме­нения угловой скорости в данный момент времени. Величина уг­лового ускорения равна первой производной от угловой скорости по времени или второй производной от угла поворота по времени:

, (10.2)

или

. (10.3)

Знак производной определяет направление изменения угло­вой скорости. Если ε > 0, то угловая скорость направлена против кода часовой стрелки. Если ε< 0, то угловая скорость направле­на по ходу часовой стрелки.

Угловые скорость и ускорение можно представить в виде векторов, которые можно приложить к любой точке на оси вра­щения, т. е. эти векторы являются скользящими:

. (10.4)

где - единичный вектор оси OZ.

Рис. 10.4

Направление векторов угловых скорости и ускорения опреде­ляются знаком производных (рис. 10.4).

На схемах угловые скорость и ускорение также изображают в виде круговых стрелок (рис. 10.4).

Угловые скорость и ускорение являются главными характе­ристиками вращательного движения и одинаковы для всех точек твердого тела в данный момент времени.

Каждая точка вращающегося тела имеет линейные скорость и ускорение.