5.8. Вынужденные механические колебания. Резонанс
Вынужденные механические колебания происходят, когда на систему, кроме упругой силы и силы сопротивления, действует сила, величина которой меняется с течением времени по гармоническому закону. Эта внешняя сила периодически пополняет энергию системы, расходуемую на работу против силы сопротивления. Поэтому в системе с течением времени устанавливаются вынужденные колебания с постоянной амплитудой.
Запишем II закон Ньютона для этого случая:
,
(5.71)
где
,
- частота внешней силы.
(5.72)
В проекции на направление движения (ось ) это уравнение имеет вид:
Введем
обозначения:
;
;
.
(5.73)
- это дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний. Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения и частного решения неднородного уравнения:
.
(5.74)
С течением времени первое слагаемое в этом выражении быстро уменьшается, поэтому установившиеся вынужденные колебания описываются вторым слагаемым. График зависимости x(t) в этом случае изображен на рис. 5.18.
Частота
установившихся вынужденных колебаний
равна частоте внешней силы
,
амплитуда
и начальная фаза
определяются соотношениями:
,
(5.75)
.
(5.76)
Начальная фаза в данном случае определяет сдвиг по фазе между установившимися вынужденными колебаниями и внешней силой.
Проанализируем зависимость амплитуды установившихся колебаний от частоты внешней силы :
1)
,
;
2)
,
;
(5.77)
3) в системе, совершающей вынужденные колебания, возможно явление резонанса.
Резонанс – это резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при определенной частоте внешней силы. Найдем резонансную частоту. Для этого производную по от приравняем к нулю:
;
,
.
Два корня этого уравнения (при и ) соответствуют минимумам . При
(5.78)
амплитуда установившихся вынужденных колебаний достигает максимального значения. Это и есть резонансная частота.
Рис.5.19
Найдем амплитуду колебаний при резонансе:
.
(5.79)
Зависимости
от
называются резонансными кривыми.
Резонансные кривые в случае острого
резонанса (затухание мало,
)
и тупого резонанса (сильное затухание,
)
представлены на рис. 5.19. Острота резонанса,
т.е. высота и ширина резонансного пика,
зависят от коэффициента затухания
.
5.9. Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденные электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре, в котором действует ЭДС, величина которой меняется по гармоническому закону.
З
апишем
закон сохранения энергии для колебательного
контура, изображенного на рис. 5.20:
, (5.80)
.
Введем обозначения:
;
;
;
;
(5.81)
- дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Оно аналогично (5.73). Решение этого уравнения имеет вид, аналогичный (5.74):
. (5.82)
График этой зависимости представлен на рис. 5.21.
Установившиеся
вынужденные колебания описываются
вторым слагаемым в зависимости
.
Они происходят с частотой ЭДС
,
- разность фаз между колебаниями заряда
и внешней ЭДС.
и
определяются соотношениями, аналогичными
(5.75) и (5.76):
,
(5.83)
.
(5.84)
Видно,
что
и
определяются свойствами контура и
вынуждающей ЭДС, причем
отстает по фазе от
.
В электрической цепи, обладающей , и , в которую включена переменная ЭДС, возможны явления резонанса заряда и резонанса тока.
1). Резонанс заряда (напряжения).
Для нахождения резонансной частоты, аналогично тому, как это сделано в разделе 5.8, нужно взять производную по частоте ЭДС от и приравнять её нулю.
.
Проделав соответствующие преобразования,
получим:
(5.85)
.
(5.86)
Резонансные кривые для резонанса заряда представлены на рис. 5.22.
2.
Для нахождения резонансной частоты при
резонансе тока найдем ток в контуре,
используя соотношение
:
.
(5.87)
Амплитуда тока равна
.
(5.88)
Как
видно из этого выражения, амплитуда
тока принимает наибольшее значение при
такой частоте внешней ЭДС, при которой
.
Из этого соотношения находим резонансную
частоту для резонанса тока
(5.89)
. (5.90)
Резонансные кривые для резонанса тока представлены на рис. 5.23. Острота резонанса зависит от активного сопротивления цепи .