4.3. Двоичное представление вещественных чисел Двоичные дроби

Целое число 0101₂ можно представить в виде 0101₂ =0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰

Аналогично можно записать двоичную дробь:

11.0101₂ =1*2¹+ 1*2⁰ + 0*2^-1 + 1*2^-2 + 0*2^-3 + 1*2^-4

Заметим, что сдвиг двоичной точки на n разрядов вправо (чаще говорят о сдвиге самого числа влево) эквивалентен умножению числа на (10₂)ⁿ = 2ⁿ. Сдвиг точки влево (то есть сдвиг самого числа вправо) – делению на 2ⁿ.

Мантисса и порядок числа

Рассмотрим сначала упрощенную схему хранения чисел в формате с плавающей точкой (floating point), несколько отличающуюся от реальной.

Число x с плавающей точкой может быть представлено в виде x=s*m*2^p. Множитель s – знак числа. Второй множитель m называется мантиссой, а число p – порядком числа.

Для простоты рассмотрим 10-битовую ячейку, состоящую из трёх независимых частей:

знак порядок мантисса

1 бит 4 бита 5 бит

Первым идёт знаковый бит. Если он равен 0, число положительно, если равен 1 – отрицательно. Набор бит, хранящийся в мантиссе, задает положительное число m, лежащее в пределах 1≤m<2. Оно получается из нашего двоичного числа путем переноса двоичной точки на место после первой значащей цифры числа. Например, числа 1.0101₂, 10.101₂ и 0.10101₂ и имеют одну и ту же мантиссу, равную 1.0101₂. При этом следующая за ведущей единицей точка в ячейке, выделяемой под мантиссу, не хранится - она подразумевается. То есть мантиссы приведённых чисел будут храниться в виде 10101₂.

Число сдвигов двоичной точки (с учетом знака) хранится в части ячейки, выделяемой под порядок числа. В нашем примере числа 1.0101₂, 10.101₂ и 0.10101₂ будут иметь порядки 0, 1 и -1, соответственно. При перемножении чисел их мантиссы перемножаются, а порядки складываются. При делении – мантиссы делятся, а порядки вычитаются. И умножение, и деление мантисс происходит по тем же алгоритмам, что и для целых чисел. Но при выходе за размеры ячейки отбрасываются не старшие, а младшие байты. В результате каждая операция умножения или деления даёт результат, отличающийся от точного на несколько значений младшего бита мантиссы. Аналогичная ситуация с потерей младших бит возникает при умножениях и делениях. Ведь если в ячейках для чисел данного типа хранится k значащих цифр числа, то при умножении двух чисел точный результат будет иметь 2k значащих цифр, последние k из которых при записи результата в ячейку будут отброшены даже в том случае, если они сохранялись при вычислениях. А при делении в общем случае при точных вычислениях должна получаться бесконечная периодическая двоичная дробь, так что даже теоретически невозможно провести эти вычисления без округлений. С этим связана конечная точность вычислений на компьютерах при использовании формата с “плавающей точкой”. При этом чем больше двоичных разрядов выделяется под мантиссу числа, тем меньше погрешность в такого рода операциях.

Замечание: системы символьных вычислений (или, что то же, – аналитических вычислений, или, что то же, системы компьютерной алгебры) позволяют проводить точные численные расчеты с получением результатов в виде формул. Однако они выполняют вычисления на много порядков медленнее, требуют намного больше ресурсов и не могут работать без громоздкой среды разработки. Поэтому для решения большинства практически важных задач они либо неприменимы, либо их использование нецелесообразно.

При сложении или вычитании сначала происходит приведение чисел к одному порядку: мантисса числа с меньшим порядком делится на 2ⁿ, а порядок увеличивается на n, где n – разница в порядке чисел. При этом деление на 2ⁿ осуществляется путем сдвига мантиссы на n бит вправо, с заполнением освобождающихся слева бит нулями. Младшие биты мантиссы, выходящие за пределы отведенной под нее части ячейки, теряются.

Пример:

сложим числа 11.011₂ и 0.11011₂ . Для первого числа мантисса 1.1011₂, порядок 1, так как 11.011₂=1.1011₂*(10₂)¹. Для второго – мантисса 1.1011₂ , порядок -1, так как 0.11011₂ =1.1011₂*(10₂)^-1. Приводим порядок второго числа к значению 1, сдвигая мантиссу на 2 места вправо, так как разница порядков равна 2:

0.11011₂ = 0.011011₂* (10₂)¹.

Но при таком сдвиге теряется два последних значащих бита мантиссы (напомним, хранится 5 бит), поэтому получаем приближенное значение 0.0110₂* (10₂)¹. Из-за чего в машинной арифметике получается

1.1011₂*(10₂)¹ + 0.011011₂*(10₂)¹ = (1.1011₂ + 0.011011₂)*(10₂)¹ ≈ (1.1011₂ + 0.0110₂)*(10₂)¹ =10.0001₂* (10₂)¹ ≈ 1.0000₂*(10₂)²

вместо точного значения 1.0000111₂*(10₂)².

Таким образом, числа в описанном формате являются на деле рациональными, а не вещественными. При этом операции сложения, вычитания, умножения и деления выполняются с погрешностями, тем меньшими, чем больше разрядность мантиссы. Число двоичных разрядов, отводимых под порядок числа, влияет лишь на допустимый диапазон значений чисел, и не влияет на точность вычислений.

Научная нотация записи вещественных чисел

При записи программы в текстовом файле или выдачи результатов в виде “плоского текста” (plain text) невозможна запись выражений типа . В этом случае используется так называемая научная нотация, когда вместо основания 10 пишется латинская буква E (сокращение от Exponent – экспонента). Таким образом, запишется как 1.5E14, а как 0.31E-7. Первоначально буква E писалась заглавной, что не вызывало проблем. Однако с появлением возможности набора текста программы в нижнем регистре стали использовать строчную букву e, которая в математике используется для обозначения основания натуральных логарифмов. Запись вида 3e2 легко воспринять как , а не . Поэтому лучше использовать заглавную букву.

Литерные константы для вещественных типов по умолчанию имеют тип double. Например, 1.5 , -17E2 , 0.0 . Если требуется ввести литерную константу типа float, после записи числа добавляют постфикс f (сокращение от “float”): 1.5f , -17E2f , 0.0f .

Минимальное по модулю не равное нулю и максимальное значение типа float можно получить с помощью констант

Float.MIN_VALUE - равна 2^-149

Float.MAX_VALUE - равна (2-2^-23)∙2¹²⁷

Аналогичные значения для типа double - с помощью констант

Double.MIN_VALUE - равна 2^-1074

Double.MAX_VALUE - равна (2-2^-52)∙2¹⁰²³.