13.Линейное (векторное) пространство. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность векторного пространства. Евклидово пространство. Неравенство Коши-Буняковского

Определение линейного пространства 

     Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать X,Y,Z , в котором установлены правила:

     1) любым двум элементам X,Y c V соответствует третий элемент X+y c V называемый суммой элементов X,Y (внутренняя операция);

     2) каждому X c V и каждому a c R отвечает определенный элемент aX (внешняя операция).

     Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

     I. 

     II. 

     III.   (нулевой элемент, такой, что  ).

     IV.   

     V. 

     VI. 

     VII. 

     VIII.   

Линейная зависимость и независимость векторов 

     Система   линейно зависима   что 

     Система   линейно независима 

Размерность линейного пространства 

     Линейное пространство V называется n-мерным (имеет размерность n), если в нем:

     1) существует n линейно независимых векторов;

     2) любая система n + 1 векторов линейно зависима.

     Обозначения : n = dim V;  .

 

     Базис - любая упорядоченная система e₁,e₂…e_n из n линейно независимых векторов пространства V_n.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) — n-мерное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение.

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Пусть дано линейное пространство L со скалярным произведением  . Пусть   — норма, порождённая скалярным произведением, то есть  . Тогда для любых   имеем:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны (коллинеарны).

14.Уравнение линий на плоскости(декартовые, параметрические). направляющий вектор прямой на плоскости. параметрические векторные и канонические уравнения прямой на плоскости. Уравнение прямой проходящей через две данные точки.

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

 Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой , заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки

 Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂ , z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

 

 Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

 Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

 

 

 Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

 Определение. Каждый ненулевой вектор  ( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

 Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

 Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой

 Определение. Прямая, проходящая через точку М₁ (х₁ , у₁ ) и перпендикулярная к прямой у = kx + b представляется уравнением: