Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где t — производный параметр, a_x, a_y — координаты x и y направляющего вектора прямой, при этом

Смысл параметра t аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод 

где   — координаты   и   направляющего вектора прямой,   и   координаты точки, принадлежащей прямой.

15.Нормальный вектор прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярную данному вектору. Общее уравнение прямой. Уравнения прямой с угловым коэффициентом. Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный этой прямой.

- уравнение прямой проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Ах + Ву + С = 0 - общее уравнение прямой.

 Уравнение прямой вида y=kx+b

                                                                             

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.

Теорема. В уравнении прямой с угловым коэффициентом y=kx+b

                                            

угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к оси абсцисс:

                                                .       

 Взаимное расположение:

Пусть      и 

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1) если  , то прямые   и   совпадают;

2) если  , то прямые    и      параллельные;

3) если  , то прямые пересекаются.

 Доказательство. Условие   равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

. Поэтому, если  , то   и прямые пересекаются.

   Если же  , то  ,  ,   и уравнение прямой   принимает вид:

 или  , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности  , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

   Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай  , т.е. прямые параллельны.

16.Уравнение прямой в отрезках. Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до данной прямой.

Расстояние от точки до прямой

Теорема. Если задана точка М(х₀ , у₀ ), то расстояние до прямой Ах + Ву + С =0 определяется как .

 Доказательство. Пусть точка М ₁(х ₁, у ₁) – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на заданную прямую. Тогда расстояние между точками М и М₁ :

 (1)

Координаты x₁ и у₁ могут быть найдены как решение системы уравнений:

Второе уравнение системы – это уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ перпендикулярно заданной прямой.

Если преобразовать первое уравнение системы к виду:

A(x – x ₀ ) + B(y – y₀ ) + Ax₀ + By₀ + C = 0,

то, решая, получим:

Подставляя эти выражения в уравнение (1), находим:

Теорема доказана.