Розв’язування

Маємо , . В прикладі 3.2. було обчислено, що (%), а в прикладі 3.8 – .

а) Знайдемо середню квадратичну похибку для середньої:

для повторної вибірки за формулою (3.28) (%).

Для без повторної вибірки за формулою (3.29) (%).

Тепер шукану довірчу ймовірність знаходимо за формулою (3.25):

.

.

(Значення знаходимо за табл. А додатків)

б) Знайдемо граничні похибки повторної та без повторної вибірки обчислимо за формулою , де (знаходимо за табл. А додатків із співвідношення ).

(%).

Тоді шуканий довірчий інтервал визначаємо за формулою (3.27):

або (%).

або (%).

Таким чином, з надійністю 0,9545 середній виробіток кравчинь швейного цеху знаходиться в межах від 117,33(%) до 121,07(%), якщо вибірка повторна, та від 117,43 до 120,97(%), якщо вибірка без повторна.

Для проведення вибіркового спостереження особливо важливо встановити об’єм вибірки , який істотно визначає необхідні при цьому часові, трудові та вартісні витрати. Для визначення необхідно задати надійність (довірчу ймовірність) оцінки та точність (граничну помилку вибірки) .

Формули для знаходження об’ємів вибірок зведемо в таблицю (табл. 3.9)

Таблиця 3.9

Параметр, що оцінюють	Повторна вибірка	Безповторна вибірка
Генеральна середня
Генеральна частка

Якщо знайдений об’єм повторної вибірки , то об’єм відповідної без повторної вибірки можна обчислити так :

. (3.32)

Оскільки , то за одних і тих же точності та надійності оцінок об’єм безповторної вибірки завжди менший за об’єм повторної вибірки. Цим і пояснюється той факт, що на практиці зазвичай використовують безповторну вибірку.

Приклад 3.10 За умовою попереднього прикладу визначити об’єм вибірки, при якому з ймовірністю 0,9973 відхилення середнього виробітку кравчинь у вибірці від середнього виробітку усіх кравчинь цеху не перевищить 1% (за абсолютною величиною)

Розв’язування

В якості невідомого значення дисперсії для визначення об’єму вибірки оберемо його оцінку , знайдену в попередньому прикладі.

Враховуючи, що та (за табл. А додатків) , знайдемо об’єм повторної вибірки за формулою .

Об’єм безповторної вибірки .

Об’єм безповторної вибірки можна обчислити за формулою (3.32), оскільки уже відомий об’м повторної вибірки , тобто

.

Очевидно, за однієї і тієї ж точності та надійності оцінки об’єму безповторної вибірки істотно менша повторної.

Вправи

3.4 Для дослідження доходів населення м. Любомля (20 000 чол.) за схемою безповторної вибірки відібрано 1000 жителів. Одержано такий розподіл жителів за місячним доходом (грн.)

	менше 650	650-1150	1150-1650	1650-2150	2150-2650	більше 2650
	58	96	239	328	147	132

Необхідно: 1. а) Знайти ймовірність того, що середній місячний дохід жителя міста відрізняється від середнього доходу його у вибірці не більше, ніж на 55 грн. (за абсолютною величиною); б) визначити інтервал, в якому із надійністю 0,99 міститься місяний дохід жителя міста. 2. Яким повинен бути об’єм вибірки, щоб ті самі межі інтервалу гарантувати з надійністю 0,9973?

3.5 Розв’язати попередню вправу за умови, що населення місто невідоме, а відомо лише, що воно дуже велике у порівнянні з об’ємом вибірки.

3.6 За даними вправи 3.4 необхідно: 1. а) Знайти ймовірність того, що частка малозабезпечених жителів міста (з доходом меншим 650 грн.) відрізняється від частки таких жителів у вибірці не більш ніж на 0,01 (за абсолютною величиною); б) визначити інтервал, в якому з надійністю 0,98 знаходиться частка малозабезпечених жителів міста. 2. Яким має бути об’єм вибірки, щоб ті самі межі для частки малозабезпечених жителів міста гарантувати з надійністю 0,9973? 3. Як змінилися б результати отримані в п. 1-2, якби про частку малозабезпечених жителів взагалі не було нічого відомо?

3.7 Розв’язати вправу 3.6 за умови, що населення міста невідоме, а відомо лише, що воно дуже велике у порівнянні з об’ом вибірки.

3.8 З партії 7000 телевізорів відібрали 800. Серед них виявилось 10% не стандартних. Знайти інтервал, в якому із ймовірністю 0,95 міститься частка стандартних телевізорів в усій партії повторній та безповторній.