Розв’язування

Для знаходження функції розподілу потрібно знайти ймовірності можливих значень. Скористаємося формулами (1.3) та (1.15) та одержимо систему рівнянь:

,

або

.

Розв’язавши останню систему знаходимо, що ; ( ). Таким чином ряд розподілу даної випадкової величини набуває вигляду:

	2	4
	0,3	0,7

Знайдемо функцію розподілу такої випадкової величини. Будемо задавати різноманітні значення та знаходити для них .

1. Якщо , то зрозуміло, що .

2. Якщо , то . Зрозуміло, що і .

3. Якщо , то .

Графічно зобразимо функцію (рис. 1.13).

Маємо:

Рисунок 1.13

Приклад 1.18 Дискретна випадкова величина Х може приймати тільки два значення: х₁ і х₂, причому х₁<x₂. Імовірність того, що Х прийме значення х₁ дорівнює 0,8. Знайти закон розподілу Х, якщо математичне сподівання М[x]=3,4 і дисперсія D[x]=0,64.

Розв’язування

Оскільки в ряді розподілу сума ймовірностей можливих значень дорівнює одиниці, то зрозуміло, що . Як і в попередньому прикладі одержуємо систему рівнянь (нелінійну):

,

або

.

Розв’яжемо одержану систему виразивши з першого рівняння підставивши його в друге рівняння системи одержуємо:

,

або

.

Розв’язками даного квадратного рівняння є значення та , яким відповідають значення та . Оскільки за умовою задачі х₁<x₂, то ряд розподілу заданої випадкової величини такий:

	3	5
	0,8	0,2

Приклад 1.19 Дискретна випадкова величина Х задана рядом розподілу:

х=хі	0	2	4	6	8
рі	0,2	0,1	0,4	0,2	0,1

Знайти:

а) функцію розподілу F(x) і побудувати її графік;

б) числові характеристики випадкової величини Х: , та .

Розв’язування

Будемо задавати різноманітні значення та знаходити для них .

1. Якщо , то зрозуміло, що .

2. Якщо , то . Зрозуміло, що і .

3. Якщо , то .

4. Якщо , то .

5. Якщо , то

.

6. Якщо , то

.

Графічно зобразимо функцію (рис. 1.14).

Маємо:

Рисунок 1.14

Обчислимо числові характеристики даної випадкової величини.

.

.

, .

Приклад 1.20 Задано функцію розподілу випадкової величини :

а) Знайти щільність ймовірності ; б) побудувати графіки функцій та ; в) переконатися в тому, що – неперервна випадкова величина; г) знайти ймовірності , , (дві останні ймовірності показати на графіках); д) обчислити математичне сподівання, дисперсію моду та медіану.