А) Если элемент ха, то, по определению операции объединения множеств, (хав) и (хас), следовательно х  (ав)(ас), т.Е. ХDr;

б) Если элемент хВС, то, по определению операции пересечения множеств,

(хВ) и (хС), отсюда, по определению операции объединения,

(хАВ) и (хАС), следовательно х(АВ)(АС), т.е. хD_r;.

Так как для любого хD_l следует, что хD_r, то, по определению отношения включения D_lD_r.

2. Пусть элемент хD_r, т.е. (хАВ) и (хАС), откуда по определению операции объединения (хА или хВ) и (хА или хС), следовательно, хА или (хВ и хС), откуда, хА или (хBС), т.е. х А(ВС) или хD_l, откуда D_rD_l.

Таким образом, между множествами D_l и D_r существуют отношение взаимного включения, значит D_l=D_r, что и требовалось доказать.

Пример 9. Докажем первый закон двойственности:

Обозначим D_l= и D_r=  _.

1. Пусть элемент x D_l , т.е. x . Тогда xU и (x АВ), значит x А и х В (тонкий момент в доказательстве: х не принадлежит ни А, ни В), следовательно х и х , т.е. х  . Значит D_l  D_r.

2. Пусть теперь элемент х D_r , т.е. х  . Тогда (х ₎ и (х ₎, значит xU и x одновременно не принадлежит ни А, ни В, т.е. х (А или В), следовательно

х АВ, т.е. х  . Из этого следует, что D_r  D_l.

Таким образом, между множествами D_l и D_r существуют отношение взаимного включения, значит D_l=D_r, что и требовалось доказать.

Алгебраический метод доказательства проверяемых тождеств базируется на преобразовании алгебраического выражения из левой части тождества к виду, представляющему правую часть. Как вариант модификации метода можно осуществить преобразование алгебраических выражений из обеих частей тождества путем приведения их к одному и тому же виду.

Пример 10. Докажем второй закон поглощения: А(АВ)=А путем преобразования левой части тождества к правой с использованием других тождеств:

А(АВ) = (А)(АВ) = (А(B)) = А = А.

   

свойство пустого по дистрибутивному свойства пустого

множества закону множества

Упорядоченные множества Понятие вектора

Под вектором понимается упорядоченный набор элементов. Определение является не строгим (интуитивным), так же как и определение множества.

Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Число координат вектора называется его длиной или размерностью. Синонимом понятия «вектор» является «кортеж».

Для обозначения вектора обычно используются скобки, например (1,2,1,3). Иногда скобки и даже запятые в обозначении вектора опускаются.

Примером векторов могут служить целые числа, при этом отдельные цифры числа являются координатами этого вектора.

Замечание. В отличие от элементов множеств, некоторые координаты вектора могут совпадать.

Векторы длины 2 называются упорядоченными парами (или просто парами), длины 3 – тройками, …, длины n – n-ками и т.д.

Два вектора равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие их координаты равны, т.е.

(а₁, а₂, …, а_m)=(b₁, b₂,…,b_n), если m=n и a₁=b₁, a₂=b₂, …, a_m=b_m.

Векторы (кортежи) образуют особый класс множеств, называемых упорядоченными. В отличии от множеств, элементы которых могут быть перечислены в произвольном порядке, для элементов (координат) вектора существенным является их положение внутри вектора. В связи с этим множества, содержащие одинаковые элементы, но в различном порядке, равны {a, b}={b, a}, а вектора – не равны (a, b)  ( b, a).