Контрольные задачи

1. Доказать тождества по определению равенства множеств (методом взаимного включения):

а) A(BC)=(AB)  (AC) (5)

б) A( B)=AB (4)

в) A(B−C)=(AB) − (AC) (10)

2. Доказать тождества с использованием других тождеств (алгебраическим способом):

а) A( B)=AB (2)

б) (АВ)(А )=А (2)

в) A \ (B \ C)=(A \ B)(AC) (4)

3. С помощью диаграмм Эйлера-Венна (геометрическим способом) показать правомочность тождеств:

а) A(BC)=(AB)(AC) (3)

б) A( B)=AB (3)

в) (3)

г) A−(B−C)=(A−B)−C (5)

4. Убедится в правомочности тождества: A\(B\C)=(A\B)(AC)

на примере числовых множеств:

A={xN| x − нечётное и x  30},

B={xN| x делится на 3 и x  30},

C={xN| x делится на 5 и x  30}. (6)

5. Записать заданные множества перечислением их элементов:

а) A={xZ| x²+2x-3 < 0} (2)

б) B={xN₀| |x+1|  5} (3)

в) C={xZ| 0,1< 3^1-x < 100} (5)

г) D={xZ| −1< log₂|1−x| < 2} (5)

д) F={xR| sin²2x=1 и 0  x  2} (4)

6. Изобразить на координатной плоскости следующие множества:

а) G={(x,y) R²| |x − 1| − 1< y < 3 − |x+1|} (5)

б) H={(x,y) R²| y < x < } (4)

в) K={(x,y) R²| < y <8+2x-x²} (5)

г) L={(x,y) R²| < y < 2cosx} (4)

7. Действует ли коммутативный закон в отношении операции разности множеств? Утверждение обосновать. (3)

8. Проверить правомочность дистрибутивных законов для операций пересечения и разности (относительного дополнения) множеств с использованием диаграмм Эйлера-Венна (3 балла за каждый) и/или с использованием тождественных преобразований (5 баллов за каждый).

9. Убедиться в правомочности тождества A(B \ C)=(AB) \ (AC) на примере заданных множеств: A:{a,b,c}, B={c,d,e}, C={a,b,d}. (5)

10. Упростить выражение: ((AB)C)( ( C)) (4)

11. Доказать тождества: а) (A \ B) − (B \ C) − (B \ A) − (C \ B)=A−C (4)

б) (A \B)  (B \ A)=(B \ A) − (A \ B) (4)

12. Записать множества, приведённые на диаграммах Эйлера-Венна: (3 балла за каждый)

а) б) в) 33))

20