4. Функція Жуковского

Означення4. Функція виду називається функцією Жуковського та відображає площину z на площину .

Якщо довизначити , то отримаємо відображення розширеної площини z на розширену площину . Оскільки , то виконує відображення, яке зберігає кути та постійність розтягувань у всіх точках, крім .

Теорема4. Функція виконує конформне відображення середини одиничного кола на зовнішність відрізку [-1;1] площини . При цьому відображається на нижню півплощину , на верхню півплощину .

Теорема5. Функція конформно відображає область на зовнішність[-1;1] площини . При цьому відображається на верхню півплощину , , на нижню півплощину .

Доведення теореми див.[2, 130-133].

Візьмемо дві площини з розрізами по відрізку [-1;1] та „склеїмо” нижній берег розриву з верхнім берегом розрізу , а верхній берег розрізу - з нижнім берегом розрізу . Отримана дволиста поверхня - поверхня Римана для функції Жуковського, на яку вона конформно відображає розширену площину z.

Приклад1. Відобразити півколо на праву півплощину.

Розв’язання: відображає півколо на нижню півплощину . Тому відображення буде шуканим, тобто відображати півколо на праву півплощину.

Вправи

Знайти область, у які функція Жуковського відображає:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Відобразити вказані області на верхню півплощину:

6) з розрізом по [ ;1];

7) з розрізом по [–1;0], [а;1] ;

8) з розрізами [–а;1] та [1; ), a>1;

9) з розрізом [0; ] ;

10) з розрізом [ ; i], .

5. Показникова функція комплексної змінної

Означення5. Функція виду

називається показниковою функцією, яка відображає розширену площину z на розширену площину .

Властивості

1) ;

2) ;

3) , тобто – період показникової функції.

Теорема6. Показникова функція взаємно-однозначно та конформно відображає смугу шириною , паралельну дійсної осі, на кут розчину з вершиною в початку координат.

Наслідок. Смуга конформно відображається на площину з вирізаною додатною частиною дійсної осі. Причому, нижня границя переходе у верхній берег розрізу, а – в нижній берег розрізу.

Доведення див. [3, с. 91].

Поверхня Рімана, у яку конформно відображається розширена площина z будується наступним чином: потрібно взяти нескінченно багато площин , у яких відтворений розріз по додатній частині дійсної осі. Розміщуючи площини одна під іншою та нижній берег розрізу склеїмо з верхнім берегом розрізу і т. д. Та склеїмо площини у нескінченно віддаленій точці. Отримана нескінченно-листа поверхня – поверхня Римана.

Приклад1. Відобразити за допомогою функції .

Розв’язання: ( ) тоді , тобто , . Тоді та – спіраль.

Вправи

Вияснити, у що перетворюється за допомогою :

1. пряма ;

2. смуга ;

3. півсмуга ;

4. півсмуга ;

5. прямокутник ;

Знайти відображення, яке переводе:

6. смугу на площину;

7. смугу у праву півплощину;

8. смугу у ліву півплощину;

9. смугу у площину;

10) смугу у нижню півплощину.