6. Тригонометричні функції

Означення6. Функції , , які визначені на площині z, називаються косинусом та синусом від комплексного z.

Властивості:

1. – парна, - непарна функції;

2. , періодичні з періодом ;

3. , – необмежені у уявному направленні, тобто ;

4. всі тригонометричні формули виконуються для , ;

5. .

Оскільки, то достатньо розглянути функцію .

Теорема7. Функція смуги конформно відображує на площину з розрізами по променям [- ;-1] та [1; ]. Причому, якщо k – парне, то верхня півсмуга відображається у нижню півплощину та півпрямі , ( ) відображаються у нижній берег розрізів відповідно по променям [1; ], [– ;–1]; нижня півсмуга відображається у верхню півплощину , при цьому , відображається у верхній берег розрізів по променям [1; ], [- ;-1] відповідно. При k непарному внутрішність нижньої півсмуги відображається у нижню півплощину та , ( ) відображається у нижній берег розрізів по променям відповідно [– ;–1] та [1; ]; верхня півсмуга відображається на верхню півплощину та , відображається на верхній берег розрізів відповідно[– ;–1], [1; ].

Доведення тереми див. [2, с.160].

Поверхня Римана , на яку конформно відображається вся площина z, отримується з нескінченого числа площин , в кожній з яких проведено розріз по променям [1; ], [– ;–1]. Склеюючи площини по відповідним берегам розрізів[1; ], [- ;-1], отримуємо потрібну поверхню.

Приклад1. З’ясувати, у що перетворюється пряма функцією .

Розв’язання:

.

Тоді u= ,

або , .

.

Тобто відображає пряму у гіперболу .

Вправи

З’ясувати, у що перетворюється при відображенні

1)

2) ;

3) смуга ;

4) півсмуга ;

5) прямокутник ; ;

6) півсмуга ;

7) півсмуга ;

8) півсмуга ;

9) смуга ;

10) півсмуга .

7. Логарифмічна функція. Точка розгалуження

Означення7. Функція, обернена до функції , називається логарифмічною та позначається . Змінюючи позначення, можна записати .

З означення:

1) ;

2) крім того , тобто , значить , . Таким чином, кожному z відповідає нескінченно багато значень , тобто .

Функції називаються вітками багатозначної функції . Кожна вітка виконує конформне відображення k–го листа поверхні Римана показникової функції на відповідну смугу комплексної площини, на якій визначена показникова функція.

Нехай С – замкнута крива в площині z, яка не містить всередині себе точки z=0, тоді якщо z пробігає криву С , опише замкнуту криву у площині .

Якщо замкнута крива С містить всередині себе точку z=0, то при обході точки z кривої С її аргумент міняється з на + та значить значення при обході z навколо кривої зміниться на , тобто від вітки ми перейдемо до при обході z навколо точки z=0. Тоді z=0 називається точкою розгалуження. Такі самі дії можна провести і для точки z= .

Враховуючи взаємно-однозначність відображення віток та, те, що отримали, то вітки виконують конформні відображення.

Приклад1. Знайти .

Розв’язання = :

Вправи

Знайти значення:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) )

У що перетворюються при відображенні

6) ;

7) ;

8) ;

9) сектор , ;

10) спіраль .