Математическая статистика

15. Основные категории и задачи математической статистики.

Задачи: параметрическая статистика и непараметрическая статистика. 1 связано с оценкой неизвестных параметров, а 2 с проверкой некоторых спорных предположений, гипотез.

Основными категориями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, теоретическая и эмпирическая функции распределения.

Генеральная совокупность - множество всех, без исключения, заданные значения некоторой случайной величины, где N – объём(размерность) генеральной совокупности.

В математической статистике обычно рассматривается генеральная совокупность бесконечно большого объёма. Выборочной совокупностью или выборкой назовем n объектов, отобранных из генеральной совокупности и подвергнутые исследованию, число n – объёмом выборки. Часть генеральной совокупности = база (объект) мат. статистики. Выборка представляет собой вектор.

Эмпирическая функция распределения. Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объёма n , причём значение х₁ количественного признака X наблюдалось n₁ раз, …х_k - n_k раз. Сумма по . Наблюдаемые значения количественного признака х_i называются вариантами, а ранжированная (записанная в порядке возрастания или убывания ) последовательность вариант – вариационным рядом. Если исследуемый признак принимает дискретные значения, то такой ряд называется дискретным вариационным рядом; если же значения признака являются непрерывными, то вводят интервалы значений признака [х_i, х_i+1 ] и вариационный ряд называют интервальным. В вычислительных процедурах с интервальными вариационными рядами интервалы [х_i, х_i+1 ] заменяются серединами интервалов – х^*_i.Числа n_i называются частотами, а отношение n_i к объёму выборки n –относительной частотой . В случае дискретного ряда n_i – число повторения значения признака х_i , в случае же интервального вариационного ряда – n_i число вариант, попавших в интервал [х_i, х_i+1 ], в этом случае n_i носит название частоты повторения интервала.

Сумма относительных частот Соответствие между вариантами, записанными в порядке возрастания, и относительными частотами называется эмпирическим (статистическим) законом распределением выборки. Если обозначить n(x) – число вариант, меньших x, то эмпирическая функция распределения будет иметь вид: F^*(x) = p^* ( X < x ) = . выборочной (эмпирической) функцией распределения называется функция F^*(x), задающая для каждого значения х относительную частоту события Х < x. Функцию распределения можно задать таблично или графически. Функция распределения генеральной совокупности F (x) называется теоретической функцией распределения. Теоретическая функцией распределения F (x) определяет вероятность события X < x , а F^*(x) его относительную частоту. Относительные частоты p_i^* в соответствии с теоремой Бернулли при стремлении объёма выборки n → ∞ сходится по вероятности к вероятности p_i. Поэтому в математической статистике эмпирическую функцию F^*(x) используют для приближённого представления теоретической функции распределения F (х).