25. Критерии Фишера и Стьюдента проверки статистических гипотез. Примеры

Оценка, среднее значение которой равно нулю называется незначимой, и наоборот, оценка называется значимой, если её среднее значение не равно нулю. В связи с таким свойствами оценок, они должны быть проверены на значимость. Для этого используются критериальные случайные величины Пирсона, Стьюдента, Фишера-Снедекора. В качестве критерия F (критерий Фишера) для проверки гипотезы о равенстве дисперсий в двух генеральных совокупностях по независимым выборкам из них строится случайная величина, равная отношению двух «исправленных» дисперсий, предполагая, что генеральная совокупность распределена нормально.

закон распределения является гипотетическим и нуждается в статистической проверке. Гипотезы о виде закона распределения выдвигаются на основе результатов построения эмпирических функций распределения или гистограмм.

Рассмотрим вопрос о критерии проверки по данным выборки гипотезы о том, что данная случайная величина Х имеет функцию распределения F(х), т.е. решим задачу непараметрической статистики. Введём некоторую случайную величину – критерий К, основанный на выборе определённой меры расхождения эмпирического и теоретического распределений. Наиболее часто используемым критерием для решения задач непараметрической статистики – является критерий Пирсона χ² (хи-квадрат). Пример При проведении тестирования на профессиональную пригодность были подвергнуты испытанию две группы: в первой группе – 10 человек, во второй группе – 15 человек. По данным этих тестов были посчитаны «исправленные» эмпирические дисперсии, оказавшиеся равными для первой группы и для второго . Требуются проверить с уровнем значимости α=0,1 гипотезу о равенстве дисперсий – уровнем подготовленности. Решение. Вычислим выборочное значение критерия F = . По таблицам распределения Фишера и при α = 0,05 и степенях свободы k₁ = n₁ –1 = 9 и k₂ = n₂ –1 = 14 находим критическую точку F₂ = 2,65. Выборочное значение критерия оказалось меньше критического, и, следовательно, предположение о равенстве дисперсий не противоречит наблюдениям. Иными словами, нет оснований считать, что две группы обладают разным уровнем подготовленности.

3. Математические методы м математические модели в экономике

26. Функции предложения и функции спроса, равновесная цена и равновесный объём. Примеры.

27. Макроэкономическая балансовая модель Леонтьева «затраты – выпуск».

В нормально функционирующей экономике должен быть баланс между производством и потреблением. Рассмотрим модель экономики состоящий из n-чистых отраслей. Х= валовый выпуск отраслей, Пусть x_i – общий объём продукции i –й отрасли за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i; x_ij – объём продукции i-й отрасли, потребляемой j-й отраслью в процессе производства; y_i – объём конечной продукции i –й отрасли для непроизводственного, конечного потребления,Y- конечный продукт всей экономики. (1). уравнение баланса содержит 2 неизвестных x_i и x_ij а известно только yi . Как известно тиз теорий линейных уравнений такая система имеет бесконечное число решений и следовательно Ур-е (1) использовать в экономике нельзя. Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, величина , показывающая затраты продукции i –й отрасли на единицу продукции j-й отрасли, сохраняет приблизительно постоянное значение в течение нескольких лет, что связано с технологиями производства, которые меняются сравнительно медленно. . Коэффициенты a_ij называются коэффициентами прямых затрат. тогда следовательно Х= АХ+У(3). Соотношение (3) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы A и векторов X, Y это соотношение называют также моделью (уравнением) Леонтьева.

28. Производственные функции. Неоклассическая производственная функции типа Кобба - Дугласа. Коэффициенты эластичности по труду и капиталу. Предельный продукт труда и капитала. Предельное замещение по труду и капиталу.

Производственная функция – это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. Производственная функция всегда конкретна, т.е. предназначается для данной технологии. Новая технология – новая производительная функция. С помощью производственной функции определяется минимальное количество затрат, необходимых для производства данного объема продукта. Производственные функции, независимо от того, какой вид производства ими выражается, обладают следующими общими свойствами:1) Увеличение объема производства за счет роста затрат только по одному ресурсу имеет предел (нельзя нанимать много рабочих в одно помещение – не у всех будут места). 2) Факторы производства могут быть взаимодополняемы (рабочие и инструменты) и взаимозаменяемы (автоматизация производства).В общем виде производственная функция выглядит следующим образом: ,где  - объем выпуска; K- капитал (оборудование); М- сырье, материалы; Т- технология; N- предпринимательские способности. Наиболее простой является двухфакторная модель производственной функции Кобба - Дугласа, с помощью которой раскрывается взаимосвязь труда(L) и капитала(К). Эти факторы взаимозаменяемы и взаимодополняемы ,Где А- технологический коэффициент, λ - коэффициент эластичности по труду, а 1 − λ — коэффициент эластичности по фондам. Производственная функция Кобба-Дугласа — зависимость объема производства Q от создающих его труда L и капитала K. Эластичность выпуска продукции по капиталу и труду равна со­ответственно  и , так как , и аналогичным образом легко показать, что (dy/dL)/(y/L) равно .  -коэффициенты эластичности объема производства по затратам капитала и труда. Предельному продукт труда (dy/dL): .Предельный продукт капитала ,