Классификация бесконечно больших и бесконечно малых функций

Пусть и обе бесконечно большие или бесконечно малые при . Тогда говорят, что ­ есть при , если . В этом случае также говорят, что – бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Свойства:

1. .

2. , где .

Доказательства:

1. Имеем и при , т.е. . Отсюда , т.е. при .

2. Пусть при , т.е. (т.к. ) , т.е. .

( эквивалентно ) при означает, что и обе либо бесконечно малые, либо бесконечно большие и .

при тогда и только тогда, когда .

1. Пусть при . Т.е. при . Отсюда и, следовательно, . Возьмём теперь , т.е. .

2. Пусть теперь , где при . Отсюда и .

Говорят, что выражение вида является главной частью при , если и – бесконечно малые и если при .

I теорема Коши: Если определена на и , то существует точка .

Поделим промежуток пополам точкой . Если , то и теорема доказана. Иначе, если , то обозначим , а если , то . Поделим промежуток пополам точкой и повторим операцию. Таким образом, мы либо через конечное число шагов наткнёмся на точку , либо получим систему вложенных отрезков: , при этом длина при . Тогда по теореме о вложенных отрезках, существует точка для и . При этом , а . Следовательно, и . Тогда .

II теорема Коши: Пусть непрерывна на . Тогда для .

Введём вспомогательную функцию . Тогда , , причём и непрерывна. Тогда по I теореме Коши , т.е. или .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой точки . Тогда называется точкой разрыва функции, если функция не определена в самой точке , или если она определена в этой точке, но не является в ней непрерывной.

Если – точка разрыва функции и существуют конечные пределы и , то точка называют точкой разрыва первого рода, а величину – скачком функции в точке .

Если скачок функции в точке равен нулю, то точку называют точкой устранимого разрыва.

Все остальные разрывы относятся к разрывам второго рода.

Теорема об обратной функции: Пусть на некотором промежутке X строго возрастает (убывает) и непрерывна. Тогда на соответствующем промежутке Y может быть определена обратная функция , которая на Y тоже возрастает (убывает) и непрерывна.

1. Пусть, например, возрастает. Её значения сплошь заполняют промежуток Y. Возьмём . Тогда и . Такое единственно, т.к. если взять ­ , то будет , а если взять , то будет . Поставив в соответствие всем такое x (единственное), что и , мы получим функцию , обратную .

2. Теперь докажем монотонность (возрастание). Возьмём и и пусть . Тогда обязательно будет . Действительно, если бы было , то из-за того, что , и , было бы , что противоречит условию. Не может быть и , т.к. тогда бы , что тоже противоречит условию. Итак, , т.е. возрастает.

3. Наконец, непрерывность следует из того, что монотонна; её значения сплошь заполняют промежуток X.

I теорема Вейерштрасса: Пусть непрерывна на отрезке . Тогда ограничена на .

Предположим, что не ограничена на , т.е. для . ограничена, следовательно, и . Тогда и, значит, в точке непрерывна. Следовательно, . С другой стороны, при и, значит, при будет . Окончательно: и , чего быть не может.

II теорема Вейерштрасса: Если непрерывна на , то достигает на своих наибольшего наименьшего значений.

Докажем для наибольшего значения. По I теореме Вейерштрасса у на существует конечный . Докажем, что . По определению , для найдётся . По лемме Больцано-Вейерштрасса, и . Тогда . Следовательно, в точке непрерывна, а, значит, . При неравенство переходит в . Но, т.к. , то обязательно . Следовательно, .