Равномерная непрерывность функции

называется равномерно непрерывной на X, если для для и и удовлетворяющих неравенству будет .

Колебанием функции на множестве X называется величина

Теорема Кантора: Если функция непрерывна на отрезке, то она равномерно непрерывна на нём.

Пусть не является равномерно непрерывной на . Тогда для натурального и и , но при этом . По лемме Больцано-Вейерштрасса из можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Тогда , где , т.е. при . Т.к. , то ­ непрерывна в точке и, значит, , , и, поэтому, , но этого быть не может, т.к. . Полученное противоречие показывает теорему.

Если непрерывна на , то существует разбиение такое что для .

Т.к. непрерывна на , то равномерно непрерывна на , следовательно, для для и будет . Разобьём отрезок точками так, что все . Рассмотрим теперь . Пусть , а . Т.к. , то для .

Если равномерно непрерывна на множестве X, то непрерывна на множестве X.

То, что равномерно непрерывна, означает, что для для и будет , т.е. для , что полностью подходит под определение непрерывной на отрезке функции.

Непрерывность элементарных функций

1. – непрерывна везде, т.к. .

2. – непрерывна везде, т.к. если взять , то из следует .

3. (n – натуральное) – непрерывна везде как произведение непрерывных функций.

4. – непрерывна везде как сумма непрерывных функций.

5. – непрерывна везде, кроме тех x, при которых знаменатель равен нулю.

6. . Пусть . Тогда . Для функции известно, что она непрерывна на . Кроме того, если , то возрастает. Следовательно, определена на , строго возрастает и непрерывна.

7. . Рассмотрим , т.е. . Возьмём и положим . Тогда, если , то , следовательно, , а так как это верно для любого a, то непрерывна везде.

8. – непрерывна везде.

9. – непрерывна везде, кроме .

10. – непрерывна везде, кроме .

11. – непрерывны на по определению.

12. – непрерывны везде по определению.

13. .

а) Докажем, что ­ . Имеем для .

б) Докажем, что . Заметим, что при , а при . Возьмём . Тогда при будет . Зафиксируем . Тогда . Т.к. , то, взяв , будем иметь для . Тогда , т.е. при , откуда .

в ) Докажем, что . Имеем , т.е. непрерывна при , а т.к. – любое, то непрерывна везде.

г) Монотонность (при ). Пусть . Тогда . Т.к. , то , следовательно, , т.е. функция монотонно возрастает.

14. – непрерывна на из теоремы об обратной функции.

Доказательство некоторых эквивалентностей:

1. . .

2. . .

3. . .

Дифференциальное исчисление

Производная в точке x .

– правосторонняя производная в точке x.

Некоторые производные:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

Приращение дифференциальной функции:

Если дифференцируема в точке (т.е. имеет конечную производную), то , где при . Равенство сохраняется и при . При этом будем полагать .

Имеем при . Обозначим . Тогда , где .

Если дифференцируема в точке , то непрерывна в точке .

Т.к. , то при функция непрерывна.

Правила дифференцирования:

.

Если и дифференцируемы в точке , то в точке существуют

1. .

2. , где .

3. .

4. .

1. Пусть . Тогда . Отсюда .

2. Пусть . Тогда , откуда .

3. Пусть . Тогда , откуда (т.к. при (следует из непрерывности )).

4. Пусть . Тогда , откуда (т.к. при (следует из непрерывности )).

Пусть дифференцируема в точке ­ и определена в некоторой окрестности точки , функция дифференцируема в соответствующей точке и значения , когда x принадлежит некоторой окрестности точки , попадают в некоторую окрестность точки . Тогда сложная функция будет дифференцируема в точке , причём .

Придадим x приращение . Тогда получит приращение . Аналогично, получит приращение . По формуле приращения будет , где при ­ . Отсюда . (т.к. и ).

Теорема о производной обратной функции: Пусть в некоторой окрестности точки строго возрастает или строго убывает и непрерывна и пусть существует . Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки определена обратная функция , причём существует .

По теореме о непрерывности обратной функции в некоторой окрестности точки существует обратная функция ­ , строго монотонная и непрерывная. Придадим y приращение . Тогда . Причём при будет . Отсюда .

Пример:

1. .

2. .

Дифференциал функции

Если дифференцируема в точке , то , следовательно, при выражение – главная часть приращения .

Е сли дифференцируема в точке , то выражение называется дифференциалом в точке . При этом для симметрии записывают как . Тогда ­ .

Теорема об инвариантности формы первого дифференциала: Дифференциал дифференцируемой функции может быть написан в виде как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда – дифференцируемая функция другой переменной.

1. Пусть x – независимая переменная. Тогда по определению.

2. Пусть . Тогда .

Производные и дифференциалы старших порядков

Если на промежутке существует , то , если она существует.

Аналогично .

Очевидно, что , , где .

Некоторые формулы:

1. , , , …, . Если a – натуральное, то при и при .

2. , .

3. , .

4. , .

5. , .

6. , , , , . , .

7. Аналогично .

Формула Лейбница: .

Функция называется n раз дифференцируемой, если у неё существует производная n-го порядка.

n-й дифференциал , причём приращение x всё время берётся одно и то же.

Если x – независимая переменная, то:

Форма дифференциала n-го порядка при переходе от независимой переменной к зависимой не сохраняется.

Пусть . Тогда .

Параметрическое дифференцирование:

, , , .

Теоремы о дифференцируемых функциях

Говорят, что возрастает в точке , если существует такое , что при будет , а при будет .

Пусть определена в некоторой окрестности точки и существует . Тогда в точке возрастает.

Имеем . Тогда при будет . Отсюда для будет , т.е. , а для будет , т.е. на .

Точка называется точкой локального максимума для , если в окрестности будет ( определена на ).

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума.

Теорема Ферма: Если определена на каком-то промежутке, во внутренней точке достигает локального экстремума и существует , то .

Пусть, например, – точка локального максимума. Тогда не может быть , т.к. тогда бы при было бы , что противоречит условию, и не может быть , т.к. тогда бы при было бы , что противоречит условию, следовательно, .

Теорема Ролля: Пусть

1. непрерывна на ,

2. дифференцируема хотя бы на .

3. .

Тогда .

Т.к. непрерывна на , то по I теореме Вейерштрасса, и ­ , в которых достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Возможны два случая:

1. . Тогда и для . Т.е. за C можно взять .

2. . Т.к. , то хотя бы одно их этих значений будет достигаться во внутренней точке нашего интервала, т.е. в C будет локальный экстремум, а т.к. существует, то по теореме Ферма .

Теорема Лагранжа: Пусть

1. непрерывна на ,

2. дифференцируема хотя бы на .

Тогда .

В ведём вспомогательную функцию . Проверим условия теоремы Ролля:

1. непрерывна на , т.к. является линейной комбинацией непрерывных функций

2. Дифференцируема на по той же причине, причём .

3. , , т.е. .

Т.к. удовлетворяет условиям теоремы Ролля, то , т.е. или .

Теорема Лагранжа верна как при , так и при . Часто берут , тогда . Получаем . Тогда можно обозначить , . Тогда теорема Лагранжа формулируется так: Существует , что . При этом последнюю формулу называют формулой конечных приращений. Есть ещё одна запись этой теоремы: .

Теорема Коши для дифференцируемых функций: Пусть

1. и непрерывны на ,

2. и дифференцируемы хотя бы на ,

3. на .

Тогда .

Убедимся, что . Если бы это было не так, то выполнялись бы все условия теоремы Ролля, и существовала бы точка , что противоречит третьему условию. Введём вспомогательную функцию .

1. непрерывна на как линейная комбинация непрерывных функций.

2. дифференцируема на по той же причине, причём .

3. , , т.е. .

Значит, по теореме Ролля , т.е. или .

Формула Тейлора: Пусть в некоторой окрестности точки существует , , …, и . Тогда .

Обозначим (многочлен Тейлора). При этом , , …, . Поэтому, если положить , то для будет , , …, . Докажем, что . . Следовательно, .

Единственность формулы Тейлора: Если и , то , , …, .

Из следует, что . Устремим x к . Тогда . Вычтем и и поделим на . Тогда . Опять устремим x к . Получим . Аналогично , , …, .

Если раз дифференцируема в некоторой окрестности точки , существует и , то , где .

Положим . Тогда в условии теоремы .

Пусть на существуют и непрерывны , , …, , а в существует . Тогда для существует число для .

Нам надо оценить . Введём вспомогательную функцию , где z – переменная, а .

1. непрерывна на .

2. . Т.к. существует в , то и существует в том же интервале.

3. , .

Возьмём произвольную функцию с условиями: непрерывна, дифференцируема и не равна нулю на , и применим теорему Коши. Получим, что существует точка , откуда . Тогда . Возьмём , тогда существует на и на . Отсюда . Т.к. , то ( ). Тогда , .

Частные случаи:

Член называется остаточным членом в форме Пеано.

При называется остаточным членом в форме Лагранжа.

При – остаточный член в форме Коши.

Стандартные разложения:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. 

6. Формула бинома Ньютона: .

Ряды

Рядом называется сумма бесконечного числа слагаемых. .

Сумма называется частичной суммой ряда.

Если существует конечный предел , то S называется суммой ряда. Говорят, что ряд сходится к S. Если , то говорят, что ряд расходится к .

Критерий сходимости ряда: Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для для и любого натурального p было бы .

Необходимый признак сходимости ряда: Если сходится, то при .

Пусть сходится и , т.е. при . Тогда , а значит .

Ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.

Пусть абсолютно сходится, т.е. сходится . Возьмём . Тогда по критерию сходимости для и натурального будет . Но тогда для того же  и того же N для и любого натурального p будет . Тогда по критерию Коши сходится.

Ряды вида называют степенными.

Степенной ряд называется рядом Тейлора для , если .