4. Монотонные последовательности.

Последовательность называется возрастающей, если для всех ; неубывающей, если для всех ; убывающей, если для всех ; невозрастающей, если для всех .

Все такие последовательности объединяются общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.

Теорема 3.10. Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Рассмотрим случай неубывающей последовательности. Пусть для всех . Т.к. последовательность ограничена, то существует такое число , что для всех номеров справедливо неравенство . Пусть - множество, состоящее из элементов последовательности , т.е.

. Тогда - непустое, ограниченное сверху множество. Поэтому по теореме 2.1 для множества существует точная верхняя грань , т.е. . Докажем, что является пределом последовательности .

Т.к. - точная верхняя грань множества , то для любого существует такой элемент , что . С другой стороны, по определению точной верхней грани для всех . Из неравенств (22), (23) и из условия неубывания последовательности найдём

для всех .

Из последних неравенств имеем

для всех или

для всех .

Т.е. является пределом последовательности .

Отметим, что аналогично рассматривается случай невозрастающей ограниченной последовательности с той лишь разницей, что вместо надо рассмотреть . Теорема доказана.

4. Число . Рассмотрим последовательность с общим членом . Докажем, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху. Тогда из теоремы 3.10 будет следовать существование предела этой последовательности.

Воспользуемся формулой бинома Ньютона.

,

где – число сочетаний из элементов по элементов и , где .

Тогда

Подставляя в это равенство в место индекса , найдем

Так как для любого натурального , то каждое слагаемое в выражении для , начиная со второго слагаемого, больше, чем соответствующее слагаемое в выражении для , кроме этого содержит на одно положительное слагаемое больше, чем , т.е. . Тем самым, монотонное возрастание последовательности доказано. Докажем ограниченность последовательности .

Для доказательства ограниченности сверху этой последовательности заметим, что для любого справедливо неравенство . Поэтому

Т.е. для всех . Т.е. последовательность ограничена сверху.

Итак, последовательность является монотонно возрастающей ограниченной сверху последовательностью. По теореме 3.10 она сходится к некоторому пределу, который мы обозначим через

Итак, (24)

Отметим, что число является иррациональным (без доказательства) числом, имеющим с точностью до пятнадцати знаков после запятой вид

§4. Функция и её предел.

1. Понятие функции. Пусть и - непустые числовые множества. Если каждому элементу по некоторому закону ставится в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция , при этом переменная называется аргументом или независимой переменной, множество называется областью определения функции. Совокупность всех значений называется областью изменения функции.

Примеры функций.

1. . Эта функция определена на всей числовой прямой . Областью изменения является полупрямая .

2.

Областью определения является множество . Область изменения состоит из двух точек: 0 и 1.

3.

2. Предел функции по Гейне и по Коши. Пусть – бесконечное числовое множество.

Точка бесконечной прямой называется предельной точкой множества , если в любой окрестности точки (т.е. в любом интервале ) имеются точки множества , отличные от точки .

Замечание. Точка может, как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему.

Например, для интервала очевидно, является предельной точкой. Однако . Для сегмента точка является предельной точкой. В последнем случае .

Пусть функция определена на множестве и точка предельная точкой этого множества.

Предел функции по Гейне. Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности значений аргументов , сходящейся к , элементы которой отличны от соответствующая последовательность сходится к числу .

Предел функции по Коши. Число называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа найдётся положительное число , такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство

Замечание. Отметим, что в определении предела функции по Гейне говорится, что элементы отличны от , а в определении предела по Коши, что . Эти требования вызваны тем, что функция может быть не определена в точке .

Докажем теперь эквивалентность приведенных определений.

Пусть является пределом функции по Коши. Возьмём произвольную последовательность элементов , отличных от и сходящихся к . Тогда для произвольного найдется такое положительное число что при всех значениях аргумента для которых выполнено неравенство будет выполнено . Так как последовательность сходится к , то для числа существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство . Но для таких аргументов справедливо неравенство

.

Итак, для любого существует такой номер , что для всех номеров , выполняется

Следовательно, число является пределом последовательности .

Таким образом, если является пределом функции в точке по Коши, то является пределом функции и по Гейне.

Докажем теперь обратное. Пусть - предел функции по Гейне. Предположим, что не является пределом функции по Коши. Тогда должно существовать такое положительное число , что для произвольного положительного числа , найдется, хотя бы одно значение аргумента , для которого , но .

Возьмём последовательность , где . Для каждого должен существовать такой элемент , для которого выполнены неравенства: (2) и . (3).

Из неравенства (2) следует, что последовательность сходится к и состоит из чисел, отличных от . Тогда по условию последовательность сходится к числу . В тоже время, из неравенства (3) следует, что последовательность не сходится к . Т.е. получаем противоречие, что вызвано предположением о том, что число не является пределом функции по Коши. Итак, эквивалентность приведенных определений доказана.