6. Понятие сложной функции.

Пусть функция определена на некотором множестве , а на множестве значений этой функции определена функция , тогда функция называется сложной функцией от переменной , а переменная - промежуточной переменной сложной функции.

Замечание. Функцию называют также композицией или суперпозицией функций и .

Пример. сложная функция, представляет собой суперпозицию или композицию двух функций и .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.7. (Теорема о непрерывности сложной функции). Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. Возьмём из области определения функции произвольную последовательность , сходящуюся к точке . Тогда в силу непрерывности функции в точке имеем: , т.е. соответствующая последовательность , где

сходится к . В силу непрерывности функции в точке

Следовательно, предел функции в точке равен её значению в этой точке, что доказывает непрерывность функции в точке .

Приведём в качестве примера рассмотренную выше функцию . Эта функция непрерывна в каждой точке действительной прямой , т.к. функция непрерывна в любой точке , а функция непрерывна в точке .

7. Понятие обратной функции.

Пусть функция определена на множестве . Пусть для каждого y из области значения функции существует единственная точка из множества , такая, что . Тогда каждому элементу множества можно поставить в соответствие единственный элемент , такой, что .Следовательно, можно говорить о некоторой функции с областью определения и областью значений .

Эту функцию назовём обратной к функции и обозначим . Итак, если , то . Очевидно, что обратной к функции будет функция .

Функция, определённая на множестве , называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство . Неубывающие и невозрастающие функции называют монотонными функциями.

Если для любых , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство , то функция называется возрастающей (убывающей) на множестве . Возрастающие и убывающие функции называют также строго монотонными функциями.

Примеры. Функция является строго возрастающей на всей числовой прямой функцией.

Функция является неубывающей на всей числовой прямой функцией.

Теорема 5.8 . (Теорема о непрерывности обратной функции). Пусть функция определена, возрастает (убывает) на некотором сегменте и пусть . Тогда на сегменте (или ) определена обратная функция , которая возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте ( ).

Без доказательства.

Непрерывность простейших элементарных функций.

Простейшими элементарными функциями обычно называют следующие функции: (где - постоянное вещественное число), (где ),

.

Представление об этих функциях и об их графиках читатель имеет из курса элементарной математики.

Наша основная задача – выяснение вопроса об непрерывности всех простейших элементарных функций во всех точках областей их определения.

Строгое математическое выяснение этих вопросов не является простым и выходит за рамки настоящего курса. Поэтому мы вынуждены будем приводить некоторые утверждения без доказательства.

1. Показательная функция непрерывна в каждой точке бесконечной прямой . При этом функция возрастает при и убывает при . Областью изменения функции является множество . Графики функции при и при изображены на рис.1 и 2.

2. Логарифмическая функция. Так как на произвольном сегменте бесконечной прямой функция непрерывна и возрастает при (убывает при ), то в силу теоремы 5.8, для этой функции существует на сегменте при ( при

) обратная функция , которая непрерывна и возрастает на сегменте при (непрерывна и убывает на сегменте при ). Эта функция называется логарифмической и обозначается символом .

Поскольку левый конец мы можем неограниченно приближать к , а правый конец неограниченно приближать к , то в силу равенств , справедливых при , функция будет определена и непрерывна на всей открытой полупрямой и будет на этой полупрямой возрастать при (убывать при ). Меняя для этой функции обозначение аргумента на , а обозначении функции на , мы получим логарифмическую функцию , которая определена и непрерывна на открытой полупрямой и на этой полупрямой возрастает при (убывает при )

Графики логарифмической функции для и изображены на рис. 3 и 4.

3. Обратные тригонометрические функции. Так как функция непрерывна и возрастает на сегменте и имеет множеством своих значений сегмент , то в силу теоремы 4.7 на сегменте определена обратная функция , которая непрерывна и возрастает на этом сегменте. Меняя для этой функции обозначение аргумента на , а обозначении функции на , мы придём к функции , непрерывной и возрастающей на сегменте .

Аналогично устанавливается, что функция , обратная к непрерывной и убывающей на сегменте функции , является непрерывной и убывающей на сегменте .

Функция , обратная к непрерывной и возрастающей на интервале функции , является непрерывной и возрастающей на бесконечной прямой ; функция , обратная и непрерывная к непрерывной и убывающей на интервале функции , является непрерывной и убывающей на бесконечной прямой .

Графики обратных тригонометрических функций изображены на рис. 5 – 8.

4. Степенная функция. Пусть - произвольное фиксированное вещественное число, - некоторое вещественное число, большее единицы.

Пользуясь основным логарифмическим тожеством , представим степенную функцию в виде:

т.е. как сложную функцию вида , где .

Так как , то функция возрастает на полупрямой и потому функция

возрастает при и убывает при на этой полупрямой. Отсюда и из того, что функция возрастает на всей прямой вытекает, что степенная функция возрастает при и убывает при на полупрямой .

Далее, из того, что функция непрерывна в каждой точке полупрямой , а функция непрерывна в каждой точке бесконечной прямой и из теоремы 5.7 о непрерывности сложной функции вытекает, что степенная функция непрерывна в каждой точке полупрямой .

На рис. 9 изображены графики функции для различных значений .