Параметры, характеризующие линию без потерь

1.Энергия передается на высокой частоте от генератора к излучающей системе с помощью фидера (линии), имеющего индуктивность мкГн/м и емкость пФ/м. Потерями в фидере можно пренебречь . Частота переменного тока Гц.

Определить: волновое сопротивление , Ом, коэффициенты затуха­ния , Нп/км, и фазы , рад/км, длину волны , км, фазовую скорость , км.

Решение

1. Определим волновое сопротивление, коэффициенты затухания и фазы:

Ом;

рад/км.

2. Вычислим длину волну и фазовую скорость:

м; км /c.

2. Волновое сопротивление воздушной линии без потерь равно 600 Ом. Определить первичные параметры линии: , Ом/км, , См/км, нФ/км, , Гн/км.

Решение

1. В воздушной линии без потерь фазовая скорость равна скорости света:

Волновое сопротивление линии без потерь .

Используя эти соотношения, получим:

и .

2. Определим и

Гн/км; нФ/км.

В линии без потерь

3.Коаксиальный кабель имеет первичные параметры мкГн/м; пФ/м. Рассматривая кабель как линию без потерь, найти его волновое сопротивление Ом, и фазовую скорость волны , км/с, в нем.

При частоте сигнала МГц определить коэффициент распространения 1/м, и фазы , рад/м

Решение

1. Определим волновое сопротивление и фазовую скорость:

Ом;

км/с.

2. Определим коэффициент распространения по формуле

где рад/c;

рад/м,

отсюда рад/м град/м.

4. Определить волновое сопротивление кабеля без потерь, если входное сопротивление отрезка кабеля в режиме холостого хода = Ом, а в режиме короткого замыкания линии Ом.

Решение

1. Входное сопротивление XX входное сопротив­ле­ние КЗ

2. Отсюда получаем 60 Ом.

5. Линия без потерь, параметры которой 1,67 мкГн/м, = =6,67 пФ/м и длина l = 5 м, нагружена на активное сопротивление равное . Напряжение на нагрузке 10 В, частота Гц.

1. Определить напряжение , В, и ток , А, в начале линии и входное сопротивление Ом, линии.

2. Рассчитать и начертить графики изменения действующих значений напряжения U и тока I, резистивной и реактивной составляющих входного сопротивления нагруженной линии.

3. Определить коэффициенты бегущей и стоячей волн.

Решение

1. Определим волновое сопротивление и коэффициент фазы:

Ом;

рад/м.

Сопротивление нагрузки Ом.

2. Определим комплексные напряжение и ток в начале линии:

В;

мА.

Разделив на , получим

мА.

3. Распределение действующих значений напряжения и тока находим по выражениям, в которых =500/2000=0,2:

По этим уравнениям на рис. 3.2 построены кривые и в функции y.

4. Определим коэффициенты бегущей и стоячей волн:

6. В конце воздушной линии без потерь с волновым сопротивлением =600 Ом при сопротивлении нагрузки = =300 Ом напряжение равно 120 В.

Найти, на каких расстояниях от конца линии напряжение минимальное и максимальное. Определить величины этих напряжений , B, и , B.

Построить график распределения действующего значения напряжения вдоль линии, откладывая расстояния в относительных единицах , где х - расстояние от конца линии, - длина волны.

Решение

1. Коэффициент отражения

2. Определим и :

значит, при находится в про­ти­вофазе с и так как = 120 В, то = 180 В, а = 60 В.

3. Определим и :

= 180 + 60 = 240 В; = 120 В.

4. Распределение действующих значений напряжений вдоль линии легко найдем по формуле (28):

Определим положения максимумов и минимумов, для чего возьмем производную от подкоренного выражения.

Имеем [-1+ = 0. Исключив случай =1, соот­вет­ствующий согласованной нагрузке, определим, что экстремумы функции будут при =0, , , т.е. при , где х отсчитывается от конца линии.

Точки минимумов х =0, /2 и т.д.

Точки максимумов х = и т.д.

7. В конце воздушной линии без потерь с волновым сопротивлением =600 Ом ток = 0,1 А при сопротивлении нагрузки = 1200 Ом.

Найти, на каких расстояниях от конца линии напряжение максимальное и минимальное. Построить график распределения напряжения вдоль линии в долях длины волны.

Решение

1. Напряжение на конце линии

В.

2. Коэффициент отражения

3. Прямая и обратная волны напряжения

В;

В.

4. В конце линии прямая и обратная волны находятся в фазе и, следовательно, на нагрузке максимум напряжения

В.

Минимум напряжения будет в той точке, где разность фаз прямой и обратной волн составит , т.е.

Координаты максимумов: х = 0, / 2 и т.д.

Координаты минимумов: х = / 4, З / 4 и т.д.

8. Линия без потерь с волновым сопротивлением =400 Ом нагружена в конце на комплексное сопротивление = (640+j480) Ом. Напряжение в конце линии В, длина волны 4 м.

Определить максимальные В, , А, и минимальные , В, A, действующие значения напряжения и тока в линии; расстояние , м, от нагрузки до ближайшего минимума напряжения; построить векторные диаграммы напряжений и токов для точек x = 0 и x = 1,3 м.

Решение

1. Определим коэффициент отражения :

2. Определим максимумы и минимумы напряжения и тока:

В;

так как в точке максимума и находятся в фазе, то

В;

В;

A;

A.

3. Определим расстояние от нагрузки до ближайшего минимума на­п­ря­жения, исходя из условия противофазности прямой и обратной волн:

отсюда м, где , так как

4. Вычислим напряжения прямой и обратной волны в конце линии и для точки х = 1,3 м в линии:

В;

В.

5. Вычислим те же величины для точки х = 1,3 м:

рад

В;

В.

9. У воздушной линии без потерь с волновым сопротивлением =400 Ом было исследовано распределение напряжения вдоль линии. Оказалось, что первый минимум напряжения 12 В находится на расстоянии = 0,4 м от конца линии, а первый максимум напряжения 16 В – на расстоянии = 0,9 м.

Определить сопротивление нагрузки , Ом.

Решение

1. Определим длину волны из соотношения , отсюда м.

2. Определим угол между прямой и обратной волнами напряжения в конце линии. В точке минимума напряжения прямой и обратной волн находятся в противофазе. Исходя из этого, определяем угол между напряжением прямой и обратной волн в конце линии , где . Отсюда .

3. Приняв фазу прямой волны в конце линии равной нулю, определим напряжение в нагрузке:

,

где

Отсюда В; В; В.

4. Вычислим ток в нагрузке:

А.

5. По известным значениям напряжения и тока в нагрузке определяем сопротивление нагрузки:

Ом.

6. Сопротивление нагрузки может быть определено и через ко­эф­фи­циент отражения:

10. Воздушная линия без потерь имеет волновое сопротивление = 400 Ом. Измерения показали, что первый от конца минимум напряжения находится на расстоянии 2 м, а второй - на расстоянии 7 м и отношение = 0,5.

Определить сопротивление нагрузки , Ом.

Решение

1. Известно, что расстояние между двумя соседними минимумами напряжения равно полуволне, то есть м. Отсюда длина волны = 10м.

2. Определяем коэффициент фазы

3. Входное сопротивление линии относительно точки, где есть ближайший от конца минимум напряжения, является чисто активными равным

Следовательно, где

Подставляя численные значения, получим следующее уравнение:

Решив это уравнение относительно , получим

Ом.

11. Линия без потерь имеет длину l = 200 м, волновое сопротивление = 600 Ом и коэффициент фазы  = 0,1047 рад/м. Длина волны в линии  = 60 м. В конце линии включена индуктивность L = = 0,001 мГн.

Доказать, что в линии будут стоячие волны тока и напряжения.

Найти:

а) на каком расстоянии от конца линии будут ближайшие пучности напряжения , м, и тока , м;

б) отношение амплитуд напряжения и тока в пучности и в конце линии;

в) отношение амплитуд напряжения и тока в пучности и в начале линии.

Решение

1. Определим сопротивление нагрузки:

Ом.

Выразим ток нагрузки через U₂:

2. Докажем, что в линии имеют место стоячие волны, т.е. мгновенные значения напряжения и тока имеют следующий вид:

Из уравнения линии без потерь в комплексной форме, под­ста­вив , получим

где рад.

Переходя к мгновенным значениям и принимая, что напряжение имеет начальную фазу, равную нулю (т.е. ),

получим

3. Определим расстояние от конца линии до ближайшей пучности напряжения из уравнения , т.е. , следовательно,

м.

Определим расстояние от конца линии до ближайшей пучности тока:

м.

4. Отношение амплитуды напряжения в пучности к амплитуде на­пря­жения в конце линии

м.

Для тока такое отношение имеет вид

м.

Отношение амплитуды напряжения в пучности к амплитуде напря­жения в начале линии

.

Для тока такое соотношение имеет вид

.

12. Линия без потерь нагружена на конденсатор, сопротивление которого на данной частоте равно 35 Ом. Длина линии l = 5,5 м, коэффициент фазы , волновое сопротивление = 70 Ом. При напряжении в начале линии = 10 В определить мгновенные значения напряжения и тока .

Определить напряжение в конце линии , В, построить графики U(x) и I(х), отсчитывая х от конца линии.

Решение

1. Используем следующие уравнения:

С учетом соотношений и можно записать:

Напряжение находим при x=l:

В; В.

2. Подставим известные численные значения в уравнения линии без потерь:

Выражения для мгновенных значений u и i имеют вид

3. Действующие значения напряжения и тока

Кривые U(x) и I(x) можно построить непосредственно по этим соотношениям. Однако целесообразно рассчитать положение узлов и пучностей.

4. Координату первого узла напряжения находим из условия

,

отсюда м.

Следующий узел напряжения находится на расстоянии /2 от первого узла. Так как = = 2,5м, то = 2,87 м. Пучности напряжения отстоят от его узлов на расстоянии = 1,25 м. Отсюда получаем координаты пучностей напряжений:

м; м.

Напряжение в пучности ( х = 1,61 м ) = 61 В.

Ток в пучности ( х = 0,37 м ) = 0,872 А.

2. Построим графики действующих значений U(x) и I(х)

13. Линия без потерь длиной l = 5 м, имеющая волновое сопротивление =470 Ом и коэффициент фазы = 2,10 рад/м, находится в режиме холостого хода.

1. Подсчитать действующие значения напряжения , В, в конце и тока , мА, в начале линии, если к линии подключено напряжение В, Гц).

2. Начертить кривые распределения действующих значений напря­жения и тока вдоль линии.

3. Написать уравнения мгновенных значений напряжения u и тока i в начале линии.

4. Начертить кривые распределения мгновенных значений напряжения и тока вдоль линии для двух моментов времени: t=0 и t=T/8.

5. Определить коэффициенты отражения и бегущей волны .

Решение

Подсчитаем величины, которые потребуются в дальнейших расчетах:

рад= рад;

1. Примем В. Комплексные значения напряжений и токов можно записать следующим образом:

Определим действующее значение напряжения в конце линии:

В.

Затем определим действующее значение тока в начале линии:

мА.

2. Действующие значения напряжений и токов соответственно равны

3. Запишем в общем виде уравнения мгновенных значений на­пря­жений и токов в режиме холостого хода

4. Для момента эти уравнения примут вид

мА;

а для момента

В; мА

5. Коэффициент отражения со стороны нагрузки определим по формуле

Коэффициент бегущей волны

14.В конце линии длиной l = 5,5 м, имеющей волновое сопро­тивление = 70 Ом, коэффициент фазы =72 °/м, длину волны =5м, произошло короткое замыкание. Напряжение на входе линии = 10 В. Най­ти токи в начале , А, и в конце , А, линии, а также распределение дей­ст­вующих значений U и I в линии и ее входное сопротивление , Ом.

Решение

1. При коротком замыкании = 0. Уравнения линии без потерь упрощаются:

При , тогда

А;

А.

2. Уравнения КЗ линии примут вид

Отсюда действующие значения напряжения и тока равны

Кривые U(x) и I(х) показаны на рис. 3.10.

3. Входное сопротивление равно

Ом,

или

Ом.

15. Для измерения емкости конденсатора при высокой частоте найдено положение узлов напряжения вдоль линии без потерь, в конце которой включен конденсатор, а в начале – генератор заданной частоты.

Определить емкость конденсатора C, пФ, если расстояние от конца воздушной линии с волновым сопротивлением Z_c = 550 Ом до ближайшего узла напряжения x₁ = 10 см, частота тока в линии f = 150 мГц.

Решение

1. Входное сопротивление участка линии относительно сечения x₁ Z_вх(x₁), в котором напряжение U = 0 (узел напряжения), также равно нулю.

Следовательно,

,

где ; , откуда C=5,9 пФ.