Случайные процессы с дискретными состояниями

Случайный процесс, протекающий в СМО, состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок, стоящих в очереди, и т.п. Это означает, что СМО представляет собой физиче­скую систему дискретного типа с конечным (или счетным) множеством состояний (В математике счетным называется бесконечное множество, элементы которого можно перенумеровать, т.е. записать в виде последовательности ,Если множество конечное или счетное, то его называют не более чем счетным.), а пере­ход системы из одного состояния в другое происходит скачком, в момент, когда осуществля­ется какое-то событие (приход новой заявки, освобождение канала, уход заявки из очереди и т. п.).

Рассмотрим физическую систему с не более чем счетным множеством состояний

В любой момент времени система может быть в одном из этих состояний. Обозначим вероятность того, что в момент система будет находиться в со­стоянии Очевидно, для любого

Случайные процессы с дискретными состояниями (не более, чем счетным множеством со­стояний) бывают двух типов: с дискретным или непрерывным временем. Первые отличаются тем, что переходы из состояния в состояние могут происходить только в строго определен­ные, разделенные конечными интервалами моменты времени . Случайные процессы с непрерывным временем отличаются тем, что переход системы из состояния в состояние воз­можен в любой момент времени .

В качестве примера дискретной системы , в которой протекает случайный процесс с непрерывным временем, рассмотрим группу из самолетов, совершающих налет на тер­риторию противника, обороняемую системой ПВО. Ни момент обнаружения группы, ни мо­мент начала работы пусковых установок системы ПВО заранее не известны. Различные со­стояния системы соответствуют различному числу пораженных самолетов в составе группы:

- не уничтожено ни одного самолета,

- уничтожен ровно один самолет,

………………………………………..

- уничтожены все самолетов.

Схема возможных состояний системы и возможных переходов из состояния в состоя­ние показана на рисунке 2 (такая схема называется графом состояний).

Рисунок 2.

Стрелками показаны возможные переходы системы из состояния в состояние. Закруг­ленная стрелка, направленная из состояния в него же, означает, что система может не только перейти в соседнее состояние , но и остаться в прежнем. Для данной системы ха­рактерны необратимые переходы (уничтоженные самолеты не восстанавливаются); в связи с этим из состояния никакие переходы в другие состояния уже невозможны.

Отметим, что граф состояний на рис. 2 показывает только переходы из состояния в соседнее состояние и не показывает «перескоки» через состояние: эти перескоки отброшены как практически невозможные. Действительно, для того чтобы система «перескочила» через состояние, нужно, чтобы строго одновременно были поражены два или более самолета, а ве­роятность такого события равна нулю.

Случайные процессы, протекающие в СМО, как правило, представляют собой про­цессы с непрерывным временем. Это связано со случайностью потока заявок. В противопо­ложность системе с необратимыми переходами, рассмотренной в предыдущем примере, для СМО характерны обратимые переходы: занятый канал может освободиться.

В качестве примера рассмотрим одноканальную СМО (например, одну телефонную линию), в которой заявка, заставшая канал занятым, не становится в очередь, а покидает сис­тему (получает «отказ»). Это - дискретная система с непрерывным временем и двумя воз­можными состояниями:

- канал свободен,

- канал занят.

Переходы из состояния в состояние обратимы. Граф состояний показан на рисунке 3.

Рисунок 3.

Для того чтобы описать случайный процесс, протекающий в дискретной системе с непрерывным временем, прежде всего, нужно проанализировать причины, вызывающие пе­реход системы из состояния в состояние. Для СМО основным фактором, обусловливающим протекающие в ней процессы, является поток заявок. Поэтому математическое описание лю­бой СМО начинается с потока заявок.