2. Предел фнп. Непрерывность

1. Расстояние между двумя точками в -пространстве задается равенством

2. Окрестностью точки радиуса называется совокупность всех точек , которые удовлетворяют условию

.

3. Число А называется пределом функции в точке :

если абсолютное значение разности будет меньше любого наперед заданного положительного числа  > 0, когда расстояние меньше некоторого положительного числа  (зависящего от ).

Для функции двух переменных записывают:

4. Для непрерывности функции в точке необходимо выполнение следующих условий:

1. функция должна быть определена в точке и вблизи нее;

2. функция должна иметь предел, когда точка стремится к произвольным способом;

3. этот предел должен быть равен значению функции в точке :

(1)

5. Функция , непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.

6. Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

1. Функция не определена в точке .

2. Не существует предел .

3. Этот предел существует, но он не равен .

7. Функция двух переменных может иметь множество точек разрыва. Если они составляют линию, то она называется линией разрыва функции.

Например, функция разрывна в каждой точке окружности . Эта окружность есть линия разрыва данной функции.

Примеры.

1.Найти предел функции:

а)

Данная функция в предельной точке (3;0) не существует, и при заданных значениях аргументов функция представляет собой отношение . Преобразуем выражение так, чтобы использовать первый замечательный предел :

.

б) не существует, так как отношение не имеет предела при произвольном стремлении точки к точке .

Так, например, если точка вдоль разных прямых, заданных уравнениями вида , то отношение , то есть зависит от углового коэффициента прямой, по которой движется точка.

2. В каких случаях ФНП будет разрывна в точке ? Пояснить примерами.

1) Функция будет разрывна в точке , если она определена вблизи этой точки, но не определена в самой .

Например, не определена в точке , но в других точках плоскости хОу определена всюду. Следовательно, в точке она разрывна. Во всех остальных точках непрерывна.

2) Функция будет разрывна в точке , если она определена вблизи этой точки, и в самой точке , но не имеет предела когда .

Например, разрывна в точке , так как она определена вблизи этой точки и в самой точке, но не имеет предела при . Во всех остальных точках непрерывна.

3) Функция будет разрывна в точке , если она определена вблизи этой точки, и в самой точке , но предел не равен :

.

Например, разрывна в точке , так как она определена вблизи этой точки и в самой точке, но предел

.

Во всех остальных точках непрерывна. Графиком этой функции является вся плоскость без точки без точки , вместо которой графику принадлежит точка .

3. Свойства функций, непрерывных в области

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка N(x₀, y₀, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x₀, y₀, …)  f(x, y, …)

а также точка N₁(x₀₁, y₀₁, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x₀₁, y₀₁, …)  f(x, y, …).

Тогда f(x₀, y₀, …) = M – наибольшее значение функции,

а f(x₀₁, y₀₁, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает, по крайней мере, один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки   [m,M] существует точка N₀(x₀, y₀, …) такая, что f(x₀, y₀, …) = .

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.

Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .

Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа  существует такое число  > 0, что для любых двух точек (х₁, y₁) и (х₂, у₂) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено неравенство

Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке.