8. Дифференцирование неявных функций
1. Переменная называется неявной функцией нескольких переменных , если она задана уравнением
которое не разрешено относительно .
При
этом если функция
и ее частные производные
,
,
…,
,
,
определены и непрерывны в некоторой
точке
и вблизи нее, и если
,
а
,
то уравнение
вблизи точки
и в самой этой точке определяет функцию
как однозначную, непрерывную и
дифференцируемую функцию от
.
Для
вычисления частных производных
,
,
…,
нет необходимости выражать
в явном виде.
Производные неявной функции , заданной уравнением , при соблюдении указанных выше условий, определяют по формулам:
;
…
(1)
В
частности, если
- неявная функция одной независимой
переменной
,
уравнением
,
то ее производная:
(2)
Примеры.
1. Найти производные неявных функций и вычислить их значение при :
а)
.
Преобразуем данное выражение к виду:
и, согласно (2), получим:
Вычислим, используя исходное выражение функции, значение при :
,
логарифмируя это выражение по основанию
,
получим:
,
,
откуда
.
Подставляя значения
и
в найденное выражение производной,
находим:
.
б)
.
Обозначив
левую часть выражения через
,
вычислив частные производные
и
и воспользовавшись формулой (2), находим:
.
Вычислим, используя исходное выражение функции, значение при :
,
решая
квадратное уравнение, получим
и
.
и
.
2. Найти производные неявных функций:
а)
.
Обозначив
левую часть выражения через
,
вычислив частные производные
,
и
и воспользовавшись формулой (1), находим:
;
9. Частные производные и дифференциалы высших порядков
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.
Если
функция
определена в некоторой области D,
то ее частные производные
и
тоже будут определены в той же области
или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Частные производные первого порядка обычно зависят от тех же аргументов, что и сама функция, и каждую из них можно дифференцировать по каждому аргументу.
1. Частные производные от частных производных первого порядка называют частными производными второго порядка и обозначают:
.
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные третьего порядка:
;
;
.
Аналогично определяются и обозначаются частные производные четвертого, пятого и более высоких порядков.
2.
Частные производные старших порядков
вида
и
т.д. называются смешанными
производными.
Теорема.
Если функция
и ее частные производные
определены и непрерывны в точке М(х, у)
и ее окрестности, то смешанные производные,
отличающиеся только последовательностью
дифференцирования, равны, т.е. верно
соотношение:
.
Согласно
этой теореме, функция двух переменных
имеет 3 различных частных производных
второго порядка; 4 различных частных
производных третьего порядка и, вообще,
различных частных производных
-го
порядка.
Аналогично определяются дифференциалы высших порядков.
…………………
Здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего в скобках выражения.
Дифференциал 2-го порядка позволяет вывести приближенную формулу, выражающую функцию через дифференциал:
.
Дифференциалы 1-го и 2-го порядка применяют для исследования функции нескольких переменных на экстремум.
Примеры.
1. Найти частные производные второго порядка:
а)
.
Вначале находим частные производные первого порядка, затем искомые частные производные второго порядка.
б)
.
Последовательно дифференцируя, находим:
.
2.
Проверить, что
для функции:
.
Дифференцируя
по
,
найдем
.
Дифференцируя
по
,
найдем
. (А)
Дифференцируем
в другом порядке,
по
:
и
по
:
(Б)
Сопоставляя (А) и (Б), заключаем, что для данной функции .
3.
Проверить, что функция
удовлетворяет дифференциальному
уравнению
.
Найдем частные производные, содержащиеся в данном уравнении:
; 
Подставляя
их в данное уравнение, получим тождество
.