3.5. Приклад 3. Знаходження двофакторної моделі
лінійної регресії
Приклад 3.
Побудувати двофакторну модель лінійної
регресії залежності заробітної плати
від рівня рентабельності
та затрат капіталу
для деякого підприємства. Необхідні
дані наведено в таблиці.
Таблиця 3.1
, ум. од. |
63 |
70 |
80 |
84 |
69 |
72 |
70 |
, % |
10,7 |
11,0 |
12,2 |
12,4 |
10,9 |
11,3 |
11,1 |
, ум. од. |
38 |
29 |
30 |
25 |
24 |
31 |
30 |
За допомогою статистичних критеріїв перевірити модель на адекватність.
Зробити прогноз значення для =15%, =40 ум. од.
Розв’язання.
1. Лінійна двофакторна модель має вигляд
.
Оцінки параметрів моделі
знаходяться з матричного рівняння
(3.1.6)
,
де
,
,
,
,
– матриця транспонована до .
Згідно з оператором оцінювання обчислюємо:
,
,
,
.
Отже, економетрична модель багатофакторної регресії для заробітної плати запишеться так
,
або для кожного значення
,
.
Виходячи з побудованої моделі, можна зробити такі попередні висновки: якщо незалежна змінна (рівень рентабельності) збільшується на одну одиницю, то – заробітна плата збільшується на 9,65 одиниць, якщо змінна – затрати капіталу зростають на одну одиницю, то заробітна плата зменшується на 0,31 одиниць.
2. Обчислимо коефіцієнт детермінації , для цього скористаємось формулою (3.2.6)
.
Для обчислення заповнимо допоміжну розрахункову таблицю 3.2.
Таблиця 3.2
№ з/п |
|
|
|
|
1 |
63 |
63,48 |
0,23 |
91,61 |
2 |
70 |
69,16 |
0,70 |
6,61 |
3 |
80 |
80,43 |
0,19 |
55,18 |
4 |
84 |
83,92 |
0,01 |
130,61 |
5 |
69 |
69,75 |
0,56 |
12,76 |
6 |
72 |
71,43 |
0,31 |
0,33 |
7 |
70 |
69,82 |
0,03 |
6,61 |
|
508 |
508 |
2,03 |
303,71 |
Сер.зн. |
72,57 |
– |
– |
– |
Тоді
.
Коефіцієнт детермінації показує, що на 99,33% значення заробітної плати визначається факторами затратами капіталу та рівнем рентабельності і на 0,67% визначається іншими факторами.
Коефіцієнт багатофакторної
кореляції
показує, що зв’язок між змінними
та
достатньо тісний.
3. Визначимо значущість рівняння регресії за допомогою - критерію Фішера:
,
.
Обчислене фактичне значення
критерію Фішера
порівнюємо з табличним
при ступенях свободи чисельника
і
– знаменника і прийнятому рівні
значущості
:
.
Так як
,
то отримане рівняння регресії є
статистично значущим. Це означає, що
отримана модель може використовуватися
для прогнозів, якщо оцінки параметрів
також виявляться статистично значущими.
4. Для
обчислення значущості оцінок параметрів
моделі
обчислимо
-
критерій Стьюдента.
Дисперсія залишків обчислюється за формулою (2.3.2):
,
.
З урахуванням стандартної похибки оцінки параметрів розраховуємо значення - критеріїв за формулою (3.3.5)
,
,
.
Знаходимо табличне значення
-критерію
для рівня значущості
і числа ступенів свободи
,
тоді
.
Так як
,
,
і
,
це означає, що отримані значення
,
і
є статистично значущими. Іншими словами,
гіпотеза
про те, що
,
і
дорівнюють нулю відкидається. Такий
результат перевірки значущості параметрів
рівняння означає, що побудована модель
регресії може використовуватися для
аналізу і прогнозу економічного процесу.
5. Побудуємо
точковий та інтервальний прогнози для
значень пояснювальної змінної при
,
40
ум. од.
(ум. од.).
Знайдемо дисперсію похибки прогнозу групової середньої. Для цього спочатку обчислимо
.
Тоді за формулою (3.4.3)
,
.
За таблицями для
і числа ступенів свободи
знаходимо
.
На кінець, за формулою (3.4.6) довірчий інтервал для математичного сподівання :
або
.
Останнє означає, що з надійністю 0,95 середня заробітна плата при рентабельності 15% і затратах капіталу 40 ум. од. буде знаходитися в межах від 98,35 до 109,78 ум. од.
Знайдемо довірчий інтервал
для індивідуальних значень
при
.
За формулою (3.4.7)
,
.
Далі за (3.4.9)
,
тобто
.
З надійністю 0,95 індивідуальне значення заробітної плати при затратах капіталу 40 ум. од. і рентабельності 15% буде знаходитися в межах від 98,03 до 110,67 ум. од. при незмінності умов проведення спостереження.