Задачи для самостоятельного решения
Вычислить интегралы, используя таблицу интегралов и свойства 1-3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
.
.
.Метод замены переменных
Сведения из теории
Существует два варианта этого метода.
Метод подведения под дифференциал
Предположим,
что подынтегральное выражение удалось
представить в виде
(это преобразование называется подведением
функции
под знак дифференциала d).
Тогда
,
(2.1)
где
после вычисления интеграла, стоящего
в правой части этой формулы, надо заменить
переменную u
на функцию
.
Интеграл, получившийся в результате
такого преобразования, может оказаться
«проще» исходного, например, табличным.
Метод подстановки
Пусть
функция
имеет непрерывную производную и обратную
функцию
.
Тогда
,
(2.2)
где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную t на функцию t(x).
При удачном выборе подстановки интеграл, стоящий справа, может оказаться «проще» исходного.
Примеры решения задач
Далее
знак
будет означать ссылку на табличный
интеграл с номером N.
Вычислить
.
◄
.
Под знаком интеграла стоит степень
функции
,
поэтому удобно подвести
под знак дифференциала:
,
.
►
Вычислить
.
◄
Подведём
под знак дифференциала
:
так как дифференциал
,
то
.
Поэтому
.
►
Вычислить
.
◄ Так
как
,
то
и
.►
Вычислить
.
◄ Так
как
,
то
.
►
Вычислить
.
◄
Подведём
под знак дифференциала
:
.
.
►
Вычислить
.
◄Так
как
,
то
.►
Вычислить
.
◄ Поскольку
,
то
.
►
Вычислить
.
◄
.
►
Вычислить
.
◄
.
►
Вычислить
.
◄
.
►
Вычислить
.
◄
.►
Вычислить
.
◄
.
►
Замечание. В примерах 2.2.1-2.2.12 после замены функции на новую переменную u получались табличные интегралы. Обычно в таком случае эту замену делают мысленно, не оформляя ее письменно.
Вычислить
.
◄ Сделаем
замену переменной – подстановку
.
Тогда
и
.
По формуле (2.2) получим
.►
Вычислить
.
◄
Обозначим
.
Тогда
,
.
По формуле (2.2)
.
►
Вычислить
.
◄ Обозначим
.
Тогда
.
По формуле (2.2)
.
Замечание.
Интеграл
можно вычислить и иначе. Согласно п. 5
.
►