3. Задачи для самостоятельного решения

Найти интегралы методом интегрирования по частям.

	.
	.
.	.
.
.	(замена ).

19. Вывести формулу 16 таблицы интегралов, используя преобразование и интегрирование по частям.

20. Вывести формулы 17 и 18 таблицы интегралов.

3. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

1. Сведения из теории

Для вычисления интегралов вида

и

из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат

и делается замена переменных .

2. Примеры решения задач

1. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене:

.

Сделаем в интеграле подстановку . Тогда , ,

=

(используем табличные интегралы 2 и 10) = . ►

2. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене

►

3. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

.

. ►

3. Задачи для самостоятельного решения

Вычислить интегралы, содержащие квадратный трёхчлен.

.	.
.	.
.	.
.
.

3. Интегрирование рациональных дробей

1. Основные понятия

Рациональной дробью (рациональной функцией) называется отношение многочленов

Если , то дробь называется правильной, если то неправильной.

Рациональные дроби следующих типов называются простейшими дробями.

; (5.1)

; (5.2)

; (5.3)

, . (5.4)

2. Интегрирование простейших рациональных дробей

Дроби типов (5.1) и (5.2) интегрируются просто:

;

.

Метод интегрирования простейших дробей типа (5.3) был изложен в п. 4. Интегрирование дробей типа (5.4) довольно громоздко и здесь излагаться не будет.