Теорема Поста о полноте

Для того чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из классов T₀, T₁, L, S, M.

Следствие. Всякий замкнутый класс функций из Р₂, не совпадающий с Р₂ содержится, по крайней мере, в одном из замкнутых классов T₀, T₁, L, S, M.

Примеры использования теоремы Поста.

1. Покажем, что система функций {f₁ =x₁x₂, f₂ =0, f₃ =1, f₄ = x₁x₂x₃} полна в Р₂. Составим таблицу, которая называется критериальной :

	Т0	Т1	L	M	S
x1x2	+	+	-	+	-
0	+	-	+	+	-
1	-	+	+	+	-
x1x2x3	+	+	+	-	+

x1 x2 x3	x1x2x3
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 0 0 0 1 0 0 1

Из таблицы видно, что какой бы класс мы ни взяли, всегда есть функция из данной системы , которая в этот класс не входит. Можно сформулировать следующее правило: для того чтобы система функций была полна, необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце критериальной таблицы был хотя бы один «минус».

Отметим еще одно обстоятельство, касающееся приведенной системы. Какую бы функцию из этой системы мы ни удалили, система станет неполной, действительно, {f₂, f₃, f₄}L, {f₁, f₃, f₄}T₁, {f₁, f₂, f₄}T₀, {f₁, f₂, f₃}M.

2 Мы знаем, что система {x₁|x₂} – полна в Р₂. Составим для нее критериальная таблица? x₁|x₂= = x₁x₂1.

	Т0	Т1	L	M	S
x1|x2	-	-	-	-	-

3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из р2: из р2: {0, 1, x1x2, x1x2}.

	Т0	Т1	L	M	S
0	+	-	+	+	-
1	-	+	+	+	-
x1x2	+	+	-	+	-
x1x2	+	-	+	-	-

Согласно критериальной таблице, полной является и система {0, 1, x₁x₂, x₁x₂}. Константа 0 введена в эту систему для удобства, тогда мы можем записать полином Жегалкина в виде, где а равны 0, если члены х х ...х , в полиноме отсутствуют.

4. Выясним, полна ли система . Составим критериальную таблицу, очевидно . Чтобы показать, что , достаточно найти одну функцию и . Возьмем , удовлетворяющую требуемым условиям. Если f S\T₀, то f(0, ..., 0) = 1, f(1, ..., 1)=0, следовательно, f M, f T₁. Рассмотрим функцию h = x₁x₂ x₂x₃ x₁x₃=1, набор ее значений (11101000), h S\T₀, но h L. Следовательно, критериальная таблица имеет вид:

	Т0	Т1	L	M	S
L T1	-	+	+	-	-
S\T0	-	-	-	+	-

и А – полная система функций.

Определение. Система функций {f₁, ..., f_s, ...} называется базисом в Р₂,если она полна в Р₂, но любая ее подсистема не будет полной. Например, система функций {x₁&x₂, 0, 1, x₁ x₂ x₃} – базис.