2. Частотные характеристики.

Передаточная функция выражает свойства системы через комплексную переменную, которая содержит действительную и мнимую части: p =  + j. Мнимая часть имеет смысл циклической частоты колебаний. Если взять чисто мнимое значение комплексной переменной, p = j, и ввести эту величину в передаточную функцию (2.6), получается частотная функция:

. (2.8)

Ее называют комплексная частотная характеристика, амплитудно-фазовая частотная характеристика, комплексный коэффициент усиления.

По определению, она записывается отношением частотных полиномов. Но возможны и другие формы записи. Обратим внимание на то, что частотный полином В(j) в развернутом виде,

,

представляет собой сумму действительной и мнимой частей:

.

Так получается потому, что j = в четной степени будет либо –1, либо +1.

Частотный полином D(j) в развернутом виде имеет ту же структуру:

D(j) = D₁() + jD₂() ,

Следовательно комплексная частотная характеристика есть отношение двух комплексных чисел:

.

Умножение числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю, позволяет выделить действительную и мнимую части:

.

Первое слагаемое обозначим U(), второе V(). U() называют действительной частотной характеристикой, V() - мнимой частотной характеристикой. В краткой записи

W(j) = U() + jV() . (2.9)

Комплексное выражение (2.9) можно интерпретировать геометрически, отложив по оси абсцисс действительную частотную характеристику, по оси ординат – мнимую частотную характеристику, рис. 2.1.

V()

М

A V



0 U U()

Рис. 2.1.

Для заданной частоты U() и V() – пара чисел, определяющих положение точки М на плоскости. Соединив прямой А начало координат с точкой М , получим прямоугольный треугольник. Для него справедливы соотношения: , ,

, . (2.10)

Все величины – функции частоты .

Комплексную частотную характеристику, следовательно, можно записать в виде

W(j) = U( ) + jV() = A ( cos () + j sin () ).

По формуле Эйлера . Поэтому

. (2.11)

А() называют амплитудной частотной характеристикой или просто амплитудой. () называют фазовой частотной характеристикой или просто фазой.

Пример 2.2.

Записать комплексную частотную характеристику, частотные характеристики, амплитуду и фазу для системы, описываемой дифференциальным уравнением

.

Преобразуя по Лапласу, получаем операторное уравнение

(p² + 3p + 1) Y(p) = 2 X(p)

и передаточную функцию:

.

Подстановкой p = j превращаем передаточную функцию в комплексную частотную характеристику:

.

Действительная частотная характеристика

.

Мнимая частотная характеристика

.

Амплитуда

.

Фаза

.

Пример 2.3.

Найти комплексную частотную характеристику, амплитуду и фазу пропорционально-интегрального регулятора (ПИ-регу-лятора). Его уравнение

.

(T – постоянная времени, k – коэффициент усиления).

Продифференцируем исходное уравнение,

и преобразуем по Лапласу:

.

Из операторного уравнения составим передаточную функцию:

.

Полагая p = j, записываем комплексную частотную характеристику

,

находим частотные характеристики:

U() = k , V() = - ,

и амплитудную частотную характеристику:

.

Фаза в функции частоты имеет выражение

.

Пример 2.4.

Найти логарифмическую амплитудную частотную характеристику ПИ-регулятора.

Воспользуемся выражением для амплитуды и запишем общий вид ЛАЧХ:

L() = 20 lg A() = 10 lg(k²T²² + 1) – 20 lg T .

Выделим асимптотические прямые.

В области  < 1 . С уменьшением  слагаемое k²T²² становится пренебрежимо меньше единицы. Его можно отбросить. Тогда первый член L() обращается в нуль вследствие lg 1 = 0. Остается

L₁ = - 20 lgT – 20 lg  .

В области  > 1 . В первом слагаемом следует пренебречь единицей. В таком случае

L₂ = 20 lg k + 20 lg T - 20 lg T = 20 lg k.

Для построения графика надо найти точки пересечения прямой L₁ c осями координат и с прямой L₂ . (По ординате откладывают L₁, L₂, по абсциссе lg ).

Точка пересечения с осью ординат находится из условия lg  = 0. Получается: L₁ = -20 lg T = 20 lg (1/T).

Точка пересечения с осью абсцисс находится из условия L₁ = 0. Получается: lg = lg (1 / T) .

Точка пересечения прямой L₁ с прямой L₂ находится из условия L₁ = L₂ . Получается: lg  = lg (1 / kT) .

Вид графика показан на рис. 2.1.

Рис. 2.2. Асимптотическая логарифмическая

амплитудная частотная характеристика ПИ-регулятора