1.5. Входное сопротивление линии и коэффициент отражения

При питании линии от идеального источника напряжения известно, как правило, входное напряжение линии, а входной ток определяется расчетом. В цифровой технике источник на входе линии может иметь характеристики источника тока. В этом случае входное напряжение рассчитывается по входному току. В обоих случаях напряжение и ток связаны между собой через входное сопротивление линии:

. (1.48)

Формулы для расчета могут быть получены на основе соотношений (1.20). Положим в них y = ℓ и разделим первое выражение на второе:

. (1.49)

Умножим далее числитель и знаменатель выражения (1.49) на , разделим на ток и учтем, что отношение есть сопротивление нагрузки :

. (1.50)

В результате получили формулу, которая позволяет вычислить входное сопротивление линии при известных ее параметрах и параметрах приемника энергии.

Формулу (1.50) можно упростить, если применить выражения (1.18):

. (1.51) (1.51) (1.51)

После деления числителя и знаменателя выражения (1.51) на сумму сопротивлений приходим к окончательной формуле для расчета:

. (1.52)

В формулу (1.52) вошла комплексная величина

, (1.53)

которая называется коэффициентом отражения. Физически это есть отношение комплекса обратной (отраженной) волны напряжения к комплексу прямой (падающей) волны в конце линии. Такое определение непосредственно следует из соотношений (1.17). Если положить в первом уравнении (1.17) y = 0, то можно записать:

. (1.54)

Модуль коэффициента отражения в основном принимает значения от нуля до единицы. Только в случае чисто индуктивной нагрузки или активно-индуктивной при вычисления по формулам (1.53) и (1.54) дают значение , превышающее единицу. Значение реализуется в режимах холос­того хода и короткого замыкания линии. В режиме холостого хода поэтому При коротком замыкании следовательно, коэффициент отражения принимает значение –1. В частном случае, когда т. е. соп­ротивление нагрузки равно волновому, коэффициент отражения обращается в нуль ( ). Этот режим характеризуется отсутствием отраженных волн нап­ряжения и тока и называется режимом согласованной нагрузки.

Отраженные волны тока в выражения (1.16) и (1.17) входят со знаком минус. Это означает, что отражение напряжения и тока в конце линии происходит с разными знаками. Например, в режиме холостого хода, когда отраженная волна напряжения имеет те же знак и величину, что и прямая Волна накладывается на прямую волну и вдвое увеличивает напряжение в конце линии. Отраженная волна тока также накладывается на прямую волну тока, но поскольку знак ее противоположен знаку прямой волны, то она вычитается из и результирующий ток в конце линии становится равным нулю.

Указанные закономерности имеют место при любых значениях Если то знак совпадает со знаком так как а значение отрицательно. При наоборот, отрицательна величина так как Предельные значения отраженных волн в конце линии, равные прямым, достигаются только в режимах холостого хода ( ) и короткого замыкания ( ).

При конечных значениях сопротивления нагрузки обратные волны в конце линии не достигают величин прямых волн.

С учетом выражения (1.54) можно записать:

. (1.55)

Рис. 1.8 и 1.9 позволяют сопоставить картины распределения напряжений в линии для двух режимов: режима холостого хода и нагрузочного режима при коэффициенте отражения .

Рис. 1.8. Распределение напряжений в линии в режиме холостого хода

Рис. 1.9. Распределение напряжений в линии

в нагрузочном режиме при

В режиме холостого хода линии коэффициент отражения , поэтому в любой момент времени напряжение обратной волны и напряжение прямой волны в конце линии одинаковы. Левые графики на рис. 1.8 показывают изменение во времени напряжений и результирующего напряжения Для наглядности фаза этих напряжений выбрана равной 90, т. е. в момент t = 0 напряжения имеют максимальные положительные значения.

На правых графиках рис. 1.8 показано распределение тех же напряжений вдоль координаты х, т. е. вдоль линии. Прямая волна (рис. 1.8, а) перемещается и затухает от начала к концу линии. Обратная волна (рис. 1.8, б), имея начальное значение в конце линии, перемещается и затухает от конца линии к началу. Поскольку прямая волна преобладает по своим значениям над обратной, то результирующее напряжение (рис. 1.8, в), являющееся суммой и перемещается от начала к концу линии.

В конце линии, как видно из графиков на рис. 1.8, результирующее напряжение удваивается, что соответствует значению коэффициента отражения

Напряжение в конце линии изменяется по периодическому закону, следовательно, фаза его в различные моменты времени неодинакова. Точно так же изменяются напряжения во всех точках линии. Их период и частота везде одинаковы, а амплитуды и фазы различны. Характер распределения показывают огибающие, изображенные штриховыми линиями. Чем дальше точка определения напряжения находится от конца линии, тем, согласно рис. 1.8, в, амп­литуда напряжения больше.

На рис. 1.8, г приведена диаграмма распределения напряжений во времени, по которой можно судить, как изменяются амплитуды и фазы напряжений на разных расстояниях от конца линии. Расстояния приняты кратными длине волны напряжения в линии.

Указанный график (рис. 1.8, г) следует понимать так. Представим себе, что удалось измерить амплитуды и фазы напряжений в конце линии и в точках, отстоящих от конца линии на расстоянии , , в тот момент времени, когда фаза напряжения равна 90. Эти напряжения, нанесенные затем на один график, и дают распределение, представленное на рис. 1.8, г.

Значение коэффициента отражения говорит о том, что амплитуда обратной волны в конце линии в два раза меньше, чем у прямой, а фаза отличается на 45. Поэтому на рис. 1.9, б отраженная волна имеет фазу 135 при фазе равной 90 (рис. 1.9, а), а амплитуда вдвое меньше по сравнению с Распределение поэтому отличается по амплитудам и фазам от аналогичного распределения на рис. 1.8, б. Результирующее напряжение для этого случая представлено на рис. 1.9, в.

Рис. 1.10 характеризует волновые особенности тока в режиме холостого хода. Для удобства сравнения прямая волна тока (рис. 1.10, а) изображена такой же, как на рис. 1.8, а. На рис. 1.10, б показана обратная волна тока В отличие от напряжения обратная волна тока вычитается.

Ток в конце линии равен нулю, так как цепь разорвана (рис. 1.10, в). Временная диаграмма на рис. 1.10, г показывает характер распределения тока вдоль линии.

Случай подключения линии к реальному источнику напряжения отличается тем, что в расчетах необходимо учитывать конечное внутреннее сопротивление источника. При этом формула для входного тока линии принимает вид:

, (1.56)

где – внутреннее сопротивление источника, питающего линию, включено это сопротивление последовательно с входным сопротивлением линии.