1.8. Понятие линии без потерь

Используемые в практике линии с распределенными параметрами характеризуются потерями. Однако при высоких частотах могут выполняться условия: , , поэтому для упрощения расчетов и выявления некоторых специфических свойств линии полагают, что r₀ = 0 и g₀ = 0. В результате возникло понятие «линия без потерь».

Линия без потерь характеризуется следующими параметрами:

волновым сопротивлением

(1.76)

коэффициентом распространения

(1.77)

коэффициентами затухания и фазы

(1.78)

фазовой скоростью

(1.79)

Приведенные соотношения (1.76) – (1.79) показывают, что линия без потерь является частным случаем неискажающей линии. Волновое сопротивление здесь чисто активное, следовательно, согласование такой линии возможно только с приемными устройствами, входное сопротивление которых также активно.

Обратимся далее к уравнениям (1.20) и запишем их с учетом выражений (1.77) и (1.78):

(1.80)

Для гиперболических функций мнимого аргумента известны формулы:

(1.81)

Подстановка формул (1.81) в выражения (1.80) приводит к соотношениям:

(1.82)

Точно так же из системы уравнений (1.19) выводится пара соотношений:

(1.83)

В свою очередь соотношения (1.17) для линии без потерь приобретают вид:

(1.84)

В правую часть системы уравнений (1.84) входят комплексы прямой и обратной волн, описывающие, в отличие от выражений (1.25) и (1.28), незатухающие волны. Например, для расчета напряжения выражения бегущих волн в линии без потерь имеют вид:

(1.85)

Линия без потерь с точки зрения передачи энергии имеет ряд особен­ностей. Так, если нагрузка в конце линии активная или активно-реактивная, то имеет место перенос энергии вдоль линии и режим ее характеризуется наличием незатухающих бегущих волн напряжения и тока. В режимах холостого хода и короткого замыкания энергия вдоль линии не передается, поэтому соотношения (1.82) и (1.84) описывают режим стоячих волн.

Особенности режима стоячих волн рассмотрим при холостом ходе линии, т. е. для случая, когда линия разомкнута на конце ( , ).

В выражениях (1.82), (1.84) и (1.85) координата y отсчитывается от конца линии, поэтому для определения мгновенных значений волн напряжения в конце линии полагаем y = 0. Тогда на основе уравнений (1.85) получаем:

(1.86)

В режиме холостого хода коэффициент отражения ρ равен единице. Следовательно, выполняется равенство u_2о = u_2п. При этом значения амплитуды волн одинаковы. Поскольку , из системы (1.84) следует:

(1.87)

Приравнивая далее u_2п и u_2о в форме (1.86), приходим к условию Ψ_о = Ψ_п и в конечном итоге записываем напряжение в произвольной точке линии как

(1.88)

где

Полученное выражение (1.88) описывает стоячую волну напряжения как результат наложения одинаковых встречно перемещающихся гармонических волн. В конце линии, т. е. при y = 0, произведение βy обращается в нуль, сос­тавляющие правой части складываются и

(1.89)

т. е. напряжение в конце линии изменяется с удвоенной амплитудой во времени. Такие же значения амплитуды будут иметь место в точках линии, удаленных от ее конца на расстояния, кратные половине длины волны, т. е. при поскольку этим значениям y соответствуют значения кратные π или 180º. Наоборот, в точках линии, находящихся на расстояниях от конца линии синусоидальные функции в выражении (1.88) имеют одинаковые значения, но разные знаки, поэтому результирующее напряжение равно нулю. Говорят, что в этих точках располагаются узлы напряжения.

Аналогичная картина имеет место и для тока с той разницей, что в конце линии ток равен нулю, а узлы его смещены относительно узлов напряжения на четверть длины волны.

Одна из величин (напряжение или ток) в узлах равна нулю. Следовательно, и мощность в них также равна нулю. Узлы не перемещаются по координате x, поэтому в режиме стоячих волн отсутствует передача энергии вдоль линии. Однако это не означает, что линия не переносит энергию. Происходит непрерывный обмен энергией между электрическим и магнитным полями на участках линии между узлами напряжения и тока. Когда напряжение в данной точке максимально, ток равен нулю и вся энергия концентрируется в электрическом поле линии. Через четверть длины волны ток линии становится максимальным, а напряжение – равным нулю. В этот момент вся энергия линии сосредоточена в ее магнитном поле.

Процесс периодического изменения энергетического состояния линии во времени заключен между указанными предельными состояниями.

Анализ волновых процессов в режиме короткого замыкания проводится аналогично. Разница лишь в том, что в конце линии с удвоенной амплитудой по отношению к прямой волне изменяется ток, а напряжение равно нулю. Узлы напряжения находятся в точках а узлы тока – (k = 1, 3, 5, …).

Входное сопротивление линии без потерь можно определить с использованием уравнений (1.82) при y = ℓ (x = 0):

. (1.90)

Особый интерес представляет расчет входного сопротивления линии без потерь в режиме короткого замыкания, которое можно выразить из формулы (1.90), полагая :

. (1.91)

В полученном выражении (1.91) согласно формуле (1.76) Z_в действительная величина, поэтому Z_{вх к.з} является чисто реактивным (индуктивным) сопротивлением, которое, как видно из уравнения (1.91), изменяется по закону тангенса в зависимости от длины линии ℓ (рис. 1.13). Это значит, что у линий разной длины Z_{вх к.з} может принимать значения от нуля до бесконечности. Предположим, например, что длина линии равна четверти длины волны – 0,25λ. При этой длине аргумент тангенса в выражении (1.91) следовательно, величина Z_{вх к.з} равна бесконечности. При этом на входных зажимах линия воспринимается как параллельный резонансный контур. Если длина линии равна половине волны 0,5λ, то входное сопротивление обращается в нуль и линия воспринимается как последовательный резонансный контур.

Сопротивление реальной линии с потерями не может принимать нулевых и бесконечных значений, но при сопротивление короткозамкнутой линии максимально. Чем меньше потери в линии, тем больше входное сопротивление четвертьволновой короткозамкнутой линии. При высоких частотах такая линия используется в радиотехнике как изолятор.

Рис 1.13. Зависимость z_{вх к.з} от длины линии ℓ