Тема 7. Аналіз концентрації, диференціації та подібності розподілів

Основні поняття та категорії:

• асиметрія

• ексцес

• коефіцієнт концентрації

• форми розподілу

• вершина розподілу

Методичні вказівки:

Різноманітність статистичних сукупностей — передумова різних форм співвідношення частот і варіюючої ознаки. За своєю формою розподіли поділяють на такі види: одно-, дво- і багатовершинні. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання в ній груп із різними рівнями ознаки. Розподіли якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинні. Серед одновершинних розподілів є симетричні і асиметричні (скошені), гостро- і плосковершинні.

Найпростішою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною, модою і медіаною. В симетричному розподілі характеристики центру мають однакові значення = М_е = М_о; в асиметричному між ними існують певні розбіжності. При правосторонній асиметрії > Ме > Мо при лівосторонній, < Ме < Мо.

Стандартизовані відхилення або ,

характеризують напрям і міру скошеності розподілу. Очевидно, що в симетричному розподілі А = 0, при правосторонній асиметрії А > 0, при лівосторонній А < 0.

Асиметрія та ексцес — це дві пов'язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексна їх оцінка виконується на основі центральних моментів розподілу.

При правосторонній асиметрії коефіцієнт А_s > 0, при лівосторонній А_s < 0. Звідси правостороння асиметрія називається додатною, а лівостороння — від'ємною. Вважається, що при А_s < 0,25 асиметрія низька, якщо А₈ не перевищує 0,5 — середня, при А_s > 0,5 -висока.

Розрахунок стандартизованих відхилень середньої і медіани, середньої та моди розглянемо на прикладі:

Приклад 1.

Маємо дані про вагу 45 мобільних телефонів (г):141, 142, 151, 83, 146, 146, 125, 135, 145, 114, 129, 170, 195, 210, 135, 135, 175, 129, 98,5, 185, 195, 186, 165, 110, 125, 95, 133, 167, 128, 140, 99, 140, 75, 117, 173, 121, 130, 150, 95, 226, 112, 103, 110, 120, 121.

За даними ряду розподілу розрахуйте моменти розподілу.

Розв’язання

Застосуємо для розрахунку моментів метод умовного нуля. Для цього перейдемо до умовних варіантів. Візьмемо за основу:

h =25 (ширина інтервалу цього ряду розподілу);

А=137,5 (середина інтервалу з найбільшою частотою).

Умовний варіант першої групи:

х₀=

У таблиці подано умовні варіанти решти групи та розрахунки, необхідні для обчислення початкових моментів:

Таблиця

Середина інтервалу, хі	Кількість телефонів, f	Умовний варіант х0=(xi-137.5)/25	x0×f	×f	×f	×f
87,5	6	-2	-12,0	24,0	-48,0	96,0
112,5	11	-1	-11,0	11,0	-11,0	11,0
137,5	16	0	0,0	0,0	0,0	0,0
162,5	6	1	6,0	6,0	6,0	6,0
187,5	4	2	8,0	16,0	32,0	64,0
212,5	2	3	6,0	18,0	54,0	162,0
усього	45	Х	-3,0	75,0	33,0	339,0

Початкові моменти ряду розподілу методом умовного нуля:

М₁₍₀₎= = ; М₁=-0,06725+137,5=135,8;

М₂₍₀₎= = ;

М₃₍₀₎= = ;

М₄₍₀₎= =

У таблиці подано розрахунки, необхідні для визначення центральних моментів:

Таблиця

Умовний варіант, х0	Кількість телефонів, f
-2	6	-11,6	22,4	-43,3	83,8
-1	11	-10,3	9,6	-8,9	8,3
0	16	1,1	0,1	0,0	0,0
1	6	6,4	6,8	7,3	7,8
2	4	8,3	17,1	35,3	73,0
3	2	6,1	18,8	57,7	177,0
усього	45	0,0	74,8	48,0	349,9

Центральні моменти ряду методом умовного нуля:

= ;

або

= =1,662

Звідси, середнє квадратичне відхилення (методом умовного нуля) -

=1,289

=

або = М₃-3М₂ М₁+2 =0,733-3×(-0,067)×1,667+2×(0,067)³=1,067;

=

або

= М₄-4М₃ М₁+6М₂ -3 =7,533-4×(-0,067)+6×1,667×(-0,067)²-3×(-0,067)⁴=7,774¹

¹(незбіг є результатом заокруглень)

Нормовані моменти:

Приклад 2.

Маємо дані про вагу 45 мобільних телефонів (г):141, 142, 151, 83, 146, 146, 125, 135, 145, 114, 129, 170, 195, 210, 135, 135, 175, 129, 98,5, 185, 195, 186, 165, 110, 125, 95, 133, 167, 128, 140, 99, 140, 75, 117, 173, 121, 130, 150, 95, 226, 112, 103, 110, 120, 121.

Необхідно оцінити ступінь асиметрії та ексцесу цієї вибірки і генеральної сукупності.

Розв’язання

Показники необхідні для оцінки асиметрії та ексцесу розраховані.

Коефіцієнт асиметрії:

А_s=m₃=0.498

Значення коефіцієнта асиметрії додатне, звідси асиметрія розподілу 45-ти мобільних телефонів за вагою є правобічною (додатною).

Отже, вага більшості телефонів є невеликою і лише декілька з них мають більшу вагу. Значення коефіцієнта асиметрії вказує на помірний ступінь асиметрії.

Цей розподіл сформовано на основі вибіркових даних. Методи статистики дозволяють оцінити асиметрію генеральної сукупності:

Середньоквадратична похибка асиметрії:

σ=

=

Можна стверджувати, що розподіл мобільних телефонів за вагою є симетричним.

Ексцес:

Е_s=m₄-3=2.817-3=-0.183.

Значення ексцесу від’ємне, звідси висновок: розподіл 45-ти мобільних телефонів за вагою – плоско вершинний.

Статистичні формули програми Microsoft Excel SKEW та KURT відповідають асиметрії та ексцесу не згрупованих даних.

Для розрахунку цих показників для ряду розподілу (згрупованих даних) треба застосувати поєднання формул.

Таблиця.

Розрахунок асиметрії та ексцесу інтервального ряду розподілу засобами програми Microsoft Excel

	В	С
2	Середина інтервалу	Кількість телефонів, f
3	87,5	6
4	112,5	11
5	137,5	16
6	162,5	6
7	187,5	4
8	212,5	2
9
10	Опис (результат)	Формула
11	Середня арифметична (135,8)	=SUMPRODUCT(В3:B8;С3:С8)/SUM(С3:С8)
12	Середнє квадратичне відхилення (32,2)	=SQRT(SUMPRODUCT(POWER(В3:В8-С11;2);С3:С8)/ SUM(С3:С8))
13	Центральний момент 3-го порядку (16657,4)	=SUMPRODUCT(POWER(В3:В8-С11;3); С3:С8) / SUM(С3:С8)
14	Коефіцієнт асиметрії (0,5)	=С13/С12^3
15	Оцінка асиметрії (правобічна (додатна))	=IF(C14); «правобічна (додатна)»; «лівобічна (від’ємна)»)
16	Оцінка ступеня асиметрії (асиметрія помірна)	=IF(ABS(C14)0.25; «асиметрія незначна»; IF(ABS(C14)0.5; «асиметрія помірна»; «асиметрія значна»))
17	Обсяг сукупності (45)	=SUM(С3:С8)
18	Середньоквадратична похибка асиметрії (0,3)	=SQRT(6*(С17-1)/((С17+1)*(С17+3)))
19	Оцінка асиметрії генеральної сукупності (симетричний)	=IF(ABS(C14)/С183; «несиметричний»; «симетричний»
20	Центральний момент 4-го порядку (3036435,2)	=SUMPRODUCT(POWER(В3:В8-С11;4); С3:С8) / SUM(С3:С8)
21	Ексцес (-0,2)	=С20/С12^4-3
22	Оцінка ексцесу (плосковершинний)	= IF(C21); «гостровершинний»; «плосковершинний»

Розподіл робітників підприємства за стажем роботи

Стаж роботи, років	Кількість робітників f	Кумулятивна частка Sf	Центр інтервалу xi	xf	x2f
1	2	3	4	5	6
До 5	17	17	4	68	272
5-7	39	56	6	234	1404
7-9	51	107	8	408	3264
9-11	42	149	10	420	4200
11 - 13	29	178	12	348	4176
13 - 15	15	193	14	210	2940
15 і більше	7	200	16	112	1792
Разом	200		_	1800	18048

За даними таблиці обчислюємо:

1. Середній стаж роботи

років

2. Медіана стажу роботи

років

2. Мода стажу роботи

років

4. Середнє квадратичне відхилення

= років

5. Стандартизовані відхилення

, та ,

Обчислені показники свідчать про помірну правосторонню асиметрію розподілу.