VI.6. Плоская электромагнитная волна
Перед исследованием плоской электромагнитной волны запишем проекции уравнений (6.29) и (6.31) на координатные оси. Тогда, приняв во внимание формулы (6.36), получим вместо каждого из векторных уравнений три скалярных:
(6.51)
(6.52)
Уравнения (6.30) и (6.32) можно записать в скалярном виде, использовав соотношение (6.37):
;
(6.53)
(6.54)
Пусть плоская
электромагнитная волна распространяется
в однородной непроводящей
среде (
).
Направим ось х
перпендикулярно к волновым
поверхностям. Тогда
и
,
а значит и их составляющие не будут
зависеть от координат у и z.
Поэтому уравнения (6.51) – (6.54) упрощаются следующим образом:
(6.55)
(6.56)
(6.57)
(6.58)
Первое из уравнений
(6.56) и уравнение (6.58) показывают, что
составляющая
не может зависеть ни от t,
ни от х. Первое из уравнений (6.55)
и
уравнение (6.57) дают аналогичный результат
для составляющей
.
Таким образом, поле волны не имеет
составляющих вдоль оси х, то есть
векторы
и
перпендикулярны к направлению
распространения волны – электромагнитные
волны поперечны.
Вторые и третьи уравнения (6.55) и (6.56) можно объединить в две группы следующим образом:
(6.59)
(6.60)
Первая группа
уравнений связывает составляющие
и
,
вторая – составляющие
и
.
Предположим, что первоначально было
создано переменное электрическое поле
,
направленное вдоль оси у. Согласно
второму уравнению
(6.59) это поле порождает магнитное поле
,
направленное вдоль оси z.
В соответствии с первым уравнением
(6.59) поле
создаст электрическое поле
и т.д. Ни поле
,
ни поле
при этом
не возникают. Аналогично,
если первоначально было создано поле
,
то согласно уравнениям (6.60) появится
поле, которое породит поле
и т. д. В этом случае не возникают
поля
и
.
Таким образом, для описания плоской
электромагнитной волны достаточно
взять одну из систем уравнений (6.59) и
(6.60), приняв составляющие, участвующие
в другой
системе, равными нулю.
Возьмем для описания волны систему уравнений (6.59), положив = = 0. Продифференцируем первое уравнение по х и произведем замену
Подставив
затем
из второго уравнения, получим волновое
уравнение для составляющей
:
(6.61)
Продифференцировав по х второе уравнение (6.59), после аналогичных преобразований получим волновое уравнение для составляющей :
(6.62)
Уравнения (6.61) и (6.62) представляют собой частный случай уравнений (6.47) и (6.48). Решением уравнения (6.61) является гармоническая функция
(6.63)
Решение уравнения (6.62) имеет аналогичный вид
(6.64)
Подставим функции (6.63) и (6.64) в систему (6.59)
Для того чтобы эти равенства выполнялись, необходимы следующие условия:
Таким образом, в электромагнитной волне колебания векторов и происходят с одинаковой фазой, а амплитуды этих векторов связаны соотношением
(6.65)
Умножив уравнение (6.63) на орт оси у, а уравнение (6.64) на орт оси z, получим уравнения плоской электромагнитной волны в векторной форме:
(6.66)
Н
а
рис. 6.21 показан «моментальный снимок»
плоской электромагнитной волны. Из
него видно, что векторы
и
образуют с направлением
распространения
волны правовинтовую систему. В
фиксированной точке пространства
векторы напряженности электрического
и магнитного полей изменяются со временем
по гармоническому закону.