§ 3. Характеристики производной от случайной функции

Говорят, что последовательность случайных величин Х₁, Х₂ ..., Х_n сходится в среднеквадратичном к случайной величине Х, если математическое ожидание квадрата разности Х_n—X стремится к нулю при n→∞: М[(Х_n—Х)²] = 0. Случайную величину X на­зывают пределом в среднеквадратичном последовательности случай­ных величин X₁, X₂,..., Х_n, ... и пишут: X = l.i.m. Х_n.

Случайную функцию X (t) называют дифференцируемой, если существует такая функция X' (t) (ее называют производной), что

l.i.m

Таким образом, производной случайной функции X'(t) называют среднеквадратичный предел отношения приращения функции к приращению аргумента Δt при Δt → 0:

Теорема 1. Математическое ожидание производной X(t)= от случайной функции X (t) равно производной от ее математического ожидания:

Теорему 1 можно обобщить: математическое ожидание производной порядка п от случайной функции равно производной этого же порядка от ее математического ожидания.

Теорема 2. Корреляционная функция производной от случайной функции X(t) равна второй смешанной частной производной от ее корреляционной функции:

Теорема 3. Взаимная корреляционная функция случайной функции X (t) и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по соответствующему аргументу [если индекс записан на первом (втором) месте, то дифференцируют по первому (второму) аргументу]:

Задачи

1.33 [794] Задано математическое ожидание m_x(t)=t²+2t+1 случайной функции X(t). Найти математическое ожидание ее производной.

1.34 [795] Задано математическое ожидание m_х(t)=t²+4 случайной функции Х(t). Найти математическое ожидание случайной функции Y(t)= tX'(t) + t².

1.35 [796] Доказать, что математическое ожидание второй производной от дважды дифференцируемой случайной функции X (t) равно второй производной от ее математического ожидания.

1.36 [797] Задана корреляционная функция случайной функции X(t). Найти корреляционную функцию ее производной.

1.37 [798] Задана случайная функция X(t) =Ue^3tcos2t, где U—случайная величина, причем М(U)=4, D(U)=l. Найти: а) математическое ожидание; 6) корреляционную функцию ее производной.

1.38 [799] На вход дифференцирующего звена поступает случайная функция X(t), корреляционная функция которой K_x=[D_xcosω(t₂—t₁)]/(t₁+t₂). Найти корреляционную функцию выходной функции Y(t) = X'(t).

1.39 [800] На вход дифференцирующего звена поступает случайная функция X(t) с математическим ожиданием m_x(t)=5sint и корреляционной функцией . Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию выходной функции Y(t) = X'(t).

1.40 [801] Доказать, что взаимная корреляционная функ­ция случайной функции X(t) и ее производной равна частной производной от корреляционной функции по аргументу, который «соответствует производной» [если индекс стоит на первом (втором) месте, то надо дифференцировать по первому (второму) аргументу]:

а) б)

1.41 [802] Заданы корреляционные функции: а) ; б) . Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X(t) и ее производной.

1.42 [803] Известна взаимная корреляционная функция случайной функции X(t) и ее производной. Найти корреляционную функцию производной.

1.43 [804] Известна взаимная корреляционная функция случайной функции X(t) и ее производной. Найти корреляционную функцию производной.

1.44 [805] Найти корреляционную функцию случайной функ­ции Z(t)=X(t)+X'(t), зная корреляционную функцию K_х.

1.45 [807] Доказать, что взаимная корреляционная функция случайной функции и ее второй производной равна частной производной второго порядка от корреляционной функции по аргументу, который «соответствует» производной [если индекс на первом (втором) месте, то дифференцируют корреляционную функцию по первому (второму) аргументу]:

1.46 [808] Задана корреляционная функция . Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X(t) и ее второй производной.

1.47 [809] Найти корреляционную функцию случайной функции Y(t)=U(t)X(t)+V(t)X'(t), где X(t)—диф­ференцируемая случайная функция, корреляционная функция которой известна; V (t) и U (t)—неслучайные функции.

1.48 [810] Задана корреляционная функция случайной функции X(t). Найти взаимную корреляционную функцию R_yz случайных функций Y(t)=aX(t)+bX'(t) и Z(t)=cX'(t)+dX(t), где а, b, с, d—постоянные действительные числа.

Ответы

1.33 (t)=3t²+2. 1.34 m_y(t)=3t². 1.36 1.37 a) (t)=4e^3t(3cos2t-2sin2t); б) · · 1.38 1.39 a) m_y(t)=5cost; б) 1.41 a) б) . 1.42 1.43 1.44 1.46 1.47 K_y=U(t₁)U(t₂)K_x+V(t₁)V(t₂) +

+U(t₁)V(t₂) +U(t₂)V(t₁) .

1.48