§2. Стационарно связанные случайные функции

^{Стационарно связанными называют две случайные функции X (t) и Y (t), взаимная корреляционная функция которых зависит только от разности аргументов τ=t}₂^—t₁^{: R}_xу^=r(τ).

^{Не всякие две стационарные функции стационарно связаны; с другой стороны, две нестационарные функции могут быть стацио­нарно связанными.}

Задачи

3.29 [14.606] Пусть X(t) процесс с независимыми прира­щениями. Доказать, что дисперсия D_x(t) является неубы­вающей функцией t.

3.30[14.607] Процесс N(t) представляет собой простейший пуассоновский поток отказов радиотехнической системы с интенсивностью 0,002 отказа в час. Найти вероятность того, что a) за 100 часов наступит не менее 3 отказов; б) за 200 часов работы системы поступит четное число отказов.

3.31[14.609] АТС обслуживает 6000 абонентов, каждый из которых в среднем занимает линию связи в течение одной минуты в час. Какое минимальное число каналов n надо иметь на АТС, чтобы вероятность того, что число поступивших в течение одной минуты вызовов превысит число каналов, была не более 0,003?

3.32[14.611] X(t)—пуассоновский процесс с параметром λ. Описать условный закон распределения Р {X (t₂) = m/X (t₁) = n}, m, n N; t₂ > t₁.

3.33[14.612] Вычислить автоковариационную функцию про­цесса Пуассона X (t) с параметром λ.

3.34[14.613] Случайный процесс X(t) есть величина интер­вала времени между двумя последовательными скачками пуассоновского процесса N(t) с параметром λ. Найти одномерную плотность случайного процесса X(t).

3.35[14.614] Число отказов радиоэлектронной аппаратуры представляет собой пуассоновский поток с интенсивностью 5·10⁴ отказов в час. Найти вероятность безотказной ра­боты аппаратуры в течение 200 часов, а также математи­ческое ожидание и дисперсию времени безотказной работы аппаратуры.

3.36[14.615] Случайный процесс X^(k)(t) есть величина интер­вала времени между n-м скачком пуассоновского процесса с параметром λ, зарегистрированным в момент времени t и (n + k)-м скачком того же процесса. Найти одномерную плотность случайного процесса X^(k)(t). Какому закону распределения соответствует полученная плотность?

^{3.37[846] Доказать, что взаимные корреляционные функции двух стационарно связанных случайных функций X(t) и Y(t), взятых в различных порядках, связаны равенством r}_xy^(τ)=r_yx^(τ).

^{3.38[847] Доказать, что для стационарных и стационарно связанных случайных функций X(t) и Y(t) абсолютная величина взаимной корреляционной функции не превышает среднего геометрического дисперсий этих функций: .}

^{3.39 [848] Заданы две стационарные случайные функции: X(t)=cos(t+φ) и Y(t)=sin(t+φ), где φ—случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,2π). Доказать, что заданные стационарные функции стацио­нарно связаны.}

^{3.40[849] Заданы случайные функции X(t)=Vcost -Usint, Y(t) = Ucost + Vsint, где U и V—некорре­лированные случайные величины, причем их математи­ческие ожидания равны нулю, а дисперсии равны 5. Доказать, что заданные функции стационарны и стацио­нарно связаны.}

^{3.41[850] Заданы стационарные случайные функции: a) X(t)=Usint+Vcost, Y(t)=Wsint+Vcost, где U, V, W — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и диспер­сиями, равными 6; б) Х(t)=Ucost+Vsint, Y (t)=Ucos2t+Vsin2t, где U и V—некоррелированные слу­чайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, равными 3. Являются ли заданные функции стационарно связанными?}

^{3.42[851] Заданы стационарные и стационарно связанные случайные функции X(t)=—U sin t +V cost, Y (t) =U cost +V sint, где U и V—некоррелированные слу­чайные величины с математическими ожиданиями, рав­ными нулю, и дисперсиями, равными единице. Найти нормированную взаимную корреляционную функцию эаданных функций.}

Ответы

^{3.30 a) 1.15·10-3; б) 0.725. 3.31 не менее 128. 3.32 P{X(t}₂^)=m/X(t₁^{)=n}= = 3.33 K}_N^(t₁^,t₂^{)=λ min(t}₁^,t₂^{), учесть что M[X(t}₁^)X(t₂^)]=

^{3.34 3.35 P{X(t)≥200}≈0.9, m}_x^{=2·103, D}_x^{=4·106. 3.36 3.40 m}_x^(t)=m_y^{(t)=0, K}_x^=K_y^=5cos(t₂^-t₁^{); R}_xy^=5sin(t₂^-t₁^{). 3.41 нет. a) R}_xy^=6cost₁^cost₂^{; б) R}_xy^=3cos(2t₂^-t₁^{). 3.42 ρ}_xy^(τ)=sinτ.

§ 3. Корреляционная функция производной от

стационарной случайной функции

^{Корреляционная функция производной X'(t)= дифференци­руемой стационарной случайной функции X (t) равна второй произ­водной от ее корреляционной функции, взятой со знаком минус:}

Задачи

^{3.43[852] Доказать, что если известна корреляционная функция k}_х^{(τ) дифференцируемой стационарной случай­ной функции X(t), то корреляционная функция ее производной}

^{3.44[853] Доказать, что производные любого порядка (если они существуют) от стационарной случайной функции также стационарны.}

^{3.45[854] Задана корреляционная функция стационарной случайной функции X (t). Найти: а) корреляционную функцию и дисперсию производной X'(t)= ; б) Отношение дисперсий функции X (t) и ее производной.}

^{3.46[855] Задана корреляционная функция стационарной случайной функции X(t). Найти: а) корреляционную функцию производной Х'(t); б) доказать, что дисперсия производной пропорциональна параметру D и квадрату пара­метра α.}

^{3.47[856] На вход дифференцирующего устройства подается стационарный случайный сигнал X(t), корреляционная функция которого k}_x^{(τ)=e-2|τ|(ch τ +2sh τ). Найти: а) корреляционную функцию на выходе устройства; б) наибольшее ее значение.}

^{3.48[857] Известна корреляционная функция k}_x^{(τ) стационарной случайной функции X(t). Доказать, что корреляционная функция второй производной}

^{3.49[858] Заданы математическое ожидание m}_x^{(t)=8 и корреляционная функция k}_x^{(τ)=5е-|τ| [cos2τ + 0,5 sin2|τ|] нормальной стационарной случайной функции X(t). Найти вероятность того, что производная Y(t)=X'(t) заключена в интервале (0,10).}

^{3.50[859] Заданы математическое ожидание m}_х^{=12 и кор­реляционная функция k}_x^{(τ)=4e-|τ|[cos2τ+0,5sin2|τ|] нормальной стационарной случайной функции X(t). Найти вероятность того, что производная Y(t)=X'(t) принимает значения, большие, чем .}

^{3.51[860] Заданы математическое ожидание m}_х^{=6 и кор­реляционная функция k}_х^{(τ)= 10e-|τ|[cos3τ + (l/3)sin3|τ|] нормальной стационарной случайной функции X(t). Найти плотность вероятности производной Y(t) = X' (t).}

3.52[14.624] На вход дифференцирующего устройства поступает случайный процесс с математическим ожиданием m_x(t)=Зt²+t и корреляционной функцией Дифференцируем ли данный процесс в среднеквадратичном? Найти дисперсию процесса на выходе дифференцирующего устройства.

3.53[14.625] Случайная функция X(t) задана выражением X(t)=Vcosωt, где V—случайная величина с характеристиками m_v=2, σ_V=3. Найти характеристики случайной функции Y(t)=X(t)+3

3.54[14.626] Корреляционная функция случайного процесса X(t) имеет вид α>0, β>0. Определить дисперсию производной процесса X(t).

3.55[14.627] Известны характеристики случайного процесса: m_X(t)=3t²+2t+1, Найти математическое ожидание и дисперсию процесса

3.56[14.630] Задана корреляционная функция K_X(t₁,t₂) случайного процесса X(t). Показать, что взаимная корреляционная функция случайных процессов X(t) и может быть представлена в виде , а взаимная корреляционная функция процессов Х(t) и в виде

3.57[14.633] Задана корреляционная функция К_X(t₁,t₂) дважды дифференцируемого случайного процесса X(t). Найти корреляционную функцию связи между процессами X(t) и Y(t), если Y(t) = φ(t)X(t)+ψ(t)X''(t), где φ(t) и ψ(t)—заданные неслучайные функции времени.

Ответы

3.45 a) б) 3.46 3.47 a) 3e^-2|τ|(ch τ-2sh |τ|); б) 3.49 P(0<Y<10)=0.4772. 3.50 P( <Y<∞)=0.5-P(0<Y< )=0.3085. 3.51 3.52 3.53 m_y(t)=2cosωt-6ωsinωt; K_y(t₁,t₂)=9(cosωt₁-3ωsinωt₁) (cosωt₂-3ωsinωt₂); D_y(t)=9(cosωt-3ωsinωt)². 3.54 =(2α+β²)D_x. 3.55 m_y(t)=7t²+2t, D_y(t)=4t². 3.57 K_xy(t₁,t₂)=φ(t₂)K_x(t₁,t₂) +ψt₂ K_x(t₁,t₂).

§ 4. Корреляционная функция интеграла

от стационарной случайной функции

^{Корреляционную функцию и дисперсию интеграла от стационарной случайной функции находят соответственно по формулам:}

Задачи

^{3.58[862] Известна корреляционная функция k}_х^{(τ) стационарной случайной функции X(t). Доказать, что дисперсия интеграла равна}

^{3.59[863] Найти дисперсию интеграла , зная корреляционную функцию стационарной случайной функции}

^{Х(t): a) k}_x^{(τ)=1/(1+τ2); б)k}_x^{(τ) = Dе-α| τ |(α >0); в) k}_x^{(τ)=De-α|τ| (l+α |τ|).}

^{3.60[864] Задана корреляционная функция k}_x^{(τ)=10е-0.5|τ|(1+0,5|τ|). Найти отношение дисперсии случайной величины к дисперсии случайной функции X (t).}

3.61[14.631] Корреляционная функция случайного процесса X(t) задана в виде K_x(t₁,t₂)= + t₁t₂ + 2 . Найти взаимную корреляционную функцию K_XY(t₁, t₂) случайных процессов X (t) и .

3.62[14.632] Ковариационная функция случайного процесса X(t) задана в виде K_x(t₁,t₂)= + t₁t₂ + 2 . Найти взаимную ковариационную функцию процессов X(t) и

Ответы

3.59 a) D_y(t)=2t arctg t-ln(1+t²); б) D_y(t)=2D(αt+e^-αt-1)/α²; в) D_y(t)=(2D/α²)[(αt+3)e^-αt+(2αt-3)]. 3.60. D_y/k_x(0)=136.

3.61 K_xy(t₁,t₂)= t₂+0.5t₁ + 3.62 K_xz(t₁,t₂)=t₁+4t₂.

§ 5. Взаимная корреляционная функция дифференцируемой

стационарной случайной функции и ее производных

^{Ниже предполагается, что τ=t}₂ ^{– t}₁^.

^{Взаимные корреляционные функции стационарной случайной функции Х(t) и ее производных выражаются формулами:}

Задачи

^{3.62[865] Доказать, что взаимная корреляционная функ­ция дифференцируемой стационарной случайной функции X(t) и ее производной X'(t)= равна первой производной от корреляционной функции k}_x^{(τ), взятой со своим (противоположным) знаком, если индекс стоит на втором (первом) по порядку месте: а) ; б) .}

^{3.63[866] Найти взаимные корреляционные функции стационарной случайной функции X(t) и ее производной, зная корреляционную функцию k}_х^{(τ) = е-|τ|(1 +|τ|).}

^{3.64[867] Доказать, что взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции X(t) и ее производной изменяет знак при перемене местами аргументов t}₁ ^{и t}₂^.

^{3.65[868] Известная корреляционная функция k}_х^{(τ) стационарной функции X(t). Найти взаимные корреляционные функции случайной функции X(t) и ее второй производной.}

^{3.66[869] Задана корреляционная функция k}_x^{(τ)=Dе-α|τ| [1+α|τ| + +(α2/3)τ2], α>0, стационарной случайной функции X(t). Найти взаимную корреляционную функцию случайной функции X(t) и ее второй производной.}

^{3.67[870] Найти корреляционную функцию cлучаиной функции Y(t)=X(t) + X'(t), зная корреляционную функцию k}_x^{(τ) стационарной функции X(t).}

^{3.68[871] Найти корреляционную функцию случайной функции Y(t)=X(t)+X'(t), зная корреляционную функцию стационарной функции X(t).}

^{3.69[872] Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X(t). Найти корреляционную функцию случайной функции Y(t), если: а) Y(t)=X(t)+X''(t); б) Y(t)=Х'(t) + Х''(t).}

^{3.70[873] Известна корреляционная функция k}_x^{(τ)=e-|τ| [1+|τ|+(1/3)τ2] стационарной случайной функции Х(t). Найти корреляционную функцию случайной функ­ции Y(t)=X(t)+X''(t).}

^{3.71[874] Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X(t). Найти корреляционную функцию случайной функции Y (t) = X (t) + X' (t) + X" (t).}

^{3.72[875] Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X(t). Найти взаимные корреляционные функции случайной функции Х(t) и ее третьей производной.}

^{3.73[876] Известна корреляционная функция стационарной случайной функции X(t). Найти взаимную корреляционную функцию первой и второй производных.}

Ответы

^{3.63 где 3.65 3.66 3.67 k}_y^(τ)=k_x^{(τ)- (τ). 3.68 k}_y^{(τ)-(3-4τ2) .}

^{3.69 a) k}_y^(τ)=k_x^{(τ)+2 б) k}_y^{(τ)= 3.70 k}_y^{(τ)=(4/3)e-|τ|(τ2-|τ|+1). 3.71 3.72. 3.73}