З врахуванням (13.12) перепишемо рівняння (13.11) в остаточному вигляді:

. (13.13)

Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа другого роду або просто рівняннями Лагранжа. Вони справедливі для будь-якої механічної системи з ідеальними голономними й утримуючими в'язями.

Невідомими в цих рівняннях є функції , які однозначно визначають положення системи в просторі (причому число невідомих дорівнює числу рівнянь). Велика перевага рівнянь Лагранжа полягає в тому, що їхнє число дорівнює числу ступенів свободи системи й не залежить від кількості вхідних у систему точок і тіл. Наприклад, машини й механізми складаються з багатьох тіл (деталей), а мають звичайно одну-дві ступені свободи; отже, вивчення їхнього руху потребує складання лише одного-двох рівнянь Лагранжа (тому вони широко використовуються в динаміці машин і механізмів, у теорії коливань, теорії гіроскопа і т.д.).

Методика застосування рівнянь Лагранжа до розв’язку конкретних задач складається з наступних кроків:

1) вибираються узагальнені координати системи (для складних систем – це нетривіальна задача);

2) знаходиться явний вираз для й за допомогою (13.10) по заданим силам визначаються узагальнені сили ;

3) складаються рівняння (13.13) у явному вигляді (після підстановки в лівій частині рівняння (13.13) будуть містити , т. ч. будуть звичайними диференціальними рівняннями другого порядку відносно невідомих );

4) інтегруючи ці рівняння й визначаючи сталі інтегрування по початковим або крайовим умовам, знаходять залежності , тобто закон руху системи в узагальнених координатах (при необхідності за допомогою (13.13) знаходять потім координатну форму закону руху системи ).

Зауваження 1. Рівняння Лагранжа (13.13) мають велике значення також і для динаміки вільних механічних систем, стосовно яких вони збігаються з рівняннями руху Ньютона, записаними в довільній (залежної від вибору узагальнених координат) системі криволінійних координат (доведення цього твердження ми опускаємо).

Зауваження 2. Варто мати на увазі, що вибір узагальнених координат системи неоднозначний: якщо q й - два набори узагальнених координат однієї й тієї ж системи, то ці набори є однозначні функції один одного вигляду:

(13.14)

Перетворення (13.14) від одного набору узагальнених координат q до іншого набору називають точковими перетвореннями. Підставляючи (13.14) в (13.13), одержуємо новий однозначний вираз через :

(13.15)

Ясно, що якщо тепер переходити в рівнянні (13.12) до узагальнених координат за допомогою (13.15), то одержимо рівняння Лагранжа тієї ж форми, що й (13.13), але тільки в штрихованих координатах. Таким чином, рівняння Лагранжа інваріантні відносно точкових перетворень (13.14).

Дослідимо тепер більш докладно структуру рівнянь Лагранжа (13.13) для різних класів (див. § 7) механічних систем. Ця структура визначається конкретним виглядом узагальнених сил і кінетичною енергією Т. Розглянемо спочатку залежність форми (13.13) від вигляду функцій .

Нехай всі активні сили (як внутрішні так і зовнішні) є потенціальними, тобто =- , де - повна потенціальна енергія системи (див. § 7). Підставляючи сюди (13.3), тобто розглядаючи U як неявну функцію узагальненої сили (13.10), маємо:

, (13.16)

де , а залежність від є результатом не стаціонарності в'язів. Очевидно, що не залежить від узагальнених швидкостей , тобто

. (13.17)

З урахуванням (13.16) і (13.17) рівняння Лагранжа (13.13) можна представити у вигляді:

,

або

, (13.18)

де функція узагальнених координат , узагальнених швидкостей і часу вигляду:

(13.19)

називається функцією Лагранжа механічної системи. Хоча тут функцію Лагранжа (13.19) ми ввели формальним чином з метою запису рівнянь Лагранжа (13.13) для механічних систем з потенціальними активними силами у формі (13.18), однак в § 14 ми покажемо, що є найважливішою функцією стану механічної системи.

Зауваження 1. Легко переконатися, що до вигляду (13.18) рівняння Лагранжа (13.13) приводяться також і для класу механічних систем з узагальнено-потенціальними силами, тобто для таких систем, узагальнені сили яких можна представити у вигляді:

, (13.20)

де - так званий узагальнений потенціал, або потенціал, що залежить від швидкості. Функція Лагранжа для зазначених систем визначається як різниця кінетичної енергії системи і її узагальненого потенціалу, тобто:

. (13.21)

Найважливішим прикладом системи з узагальнено-потенційними силами є система заряджених часток, що рухаються в зовнішньому електромагнітному полі. Наприклад, у вигляді (13.20) можна представити силу Лоренца (див. частина II цього курсу).

Зауваження 2. Якщо на механічну систему поряд з потенційними (або узагальнено-потенційними) активними силами діють і дисипативні сили (тобто сили системи, що приводять до розсіювання механічної енергії, ) , то при записі рівнянь Лагранжа (13.13) діють таким чином. Кожну узагальнену силу розбивають на дві частини:

, (13.22)

де (або )

- узагальнені сили, обумовлені дією на систему тільки потенціальних (або узагальнено-потенціальних) сил, і:

, (13.23)

• узагальнені сили, що виникають у результаті дії на систему не потенціальних дисипативних сил в’язкого тертя. Легко бачити, що рівняння Лагранжа (13.13) у цьому випадку можна представити у вигляді:

, (13.24)

де (або ).

Розглянемо тепер структуру кінетичної енергії невільної системи і її вплив на вигляд . По визначенню (див. § 3 й § 9) кінетична енергія будь-якої системи є однорідною й позитивно визначеною квадратичною формою швидкостей матеріальних точок системи. Однак кінетична енергія невільної системи в загальному випадку виявляється неоднорідною квадратичною формою відносно узагальнених швидкостей системи.

Дійсно, підставляючи (13.6) у визначення кінетичної енергії, одержуємо:

, (13.25)

де

, , (13.26)

, , (13.27)

. (13.28)

Таким чином, з (13.25) – (13.28) видно, що не стаціонарність в'язів, що накладаються на механічну систему, приводить до двох ефектів: 1) виявляється неоднорідною квадратичною формою ; 2) як так і системи стають явно залежними від часу.

У випадку, коли на систему накладені тільки стаціонарні в'язі, а всі активні сили, що діють на неї, є потенційними, то , і функцію Лагранжа системи можна представити у вигляді (див. (13.19) і (13.26)):

. (13.29)

Так як розглянутої системи є однорідна квадратична форма від , то корисно наступне:

математичне зауваження. Якщо - однорідна функція порядку n, то має місце рівність (теорема Ейлера)

. (13.30)

Дійсно, функція називається однорідною порядку n, якщо

= . (13.31)

Диференціюючи (13.31) по , маємо:

.

Полягаючи тут, що =1, ми приходимо до (13.30).

На підставі теореми Ейлера (13.30) для кінетичної енергії маємо наступну рівність:

, (13.32)

якою ми надалі скористаємося.

Зауваження. Найважливіше значення рівнянь Лагранжа у формі (13.18) полягає в тому, що при відповідному узагальненні понять їх можна використовувати не тільки в механіці, але й в інших розділах фізики, наприклад для вивчення руху класичних фізичних полів, тобто систем з нескінченним числом ступенів свободи.