- •Линейная алгебра
- •З.И.Андреева линейная алгебра
- •Введение
- •I.Системы линейных уравнений. Метод гаусса
- •II. Определители
- •2.1. Определители второго и третьего порядков
- •2.2. Перестановки и подстановки
- •2.3. Определители n-го порядка
- •3.1. Сложение матриц. Умножение матрицы на действительное (комплексное) число
- •3.2. Простые и двойные суммы
- •3.3 Умножение матриц
- •III. Матрицы
- •3.4. Умножение квадратных матриц одного порядка.
- •3.5. Решение матричных уравнений
- •IV. Линейные пространства
- •4.1. Алгебраические операции
- •4.2. Определение и примеры линейных пространств
- •4.3. Линейная зависимость и независимость векторов
- •4.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •4.5. Матрица перехода. Связь координат вектора в разных базисах
- •4.6. Подпространства линейных пространств
- •4.7. Изоморфизм линейных пространств
- •V. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений
- •5.1. Ранг матрицы
- •5.2. Решение системы линейных уравнений с помощью ранга матрицы
- •5.3. Пространство решений системы линейных однородных уравнений
- •5.4. Связь решений однородной и неоднородной систем линейных уравнений
- •5.5. Задание подпространств конечномерного линейного пространства с помощью систем линейных уравнений
- •VI. Линейные операторы
- •6.1. Определение, примеры и свойства линейных операторов
- •6.2. Область значений и ядро линейного оператора
- •6.3. Матрица линейного оператора. Связь координат вектора и его образа
- •6.4. Связь матриц линейного оператора в разных парах базисов
- •6.5. Линейные преобразования линейного пространства
- •6.6. Невырожденные линейные преобразования
- •6.7. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования
- •6.8. Линейные преобразования в базисе из собственных векторов. Линейные преобразования с простым спектром
- •VII. Евклидовы пространства
- •7.1. Скалярное произведение векторов, его свойства. Определение и примеры евклидовых и унитарных пространств
- •7.2. Матрица Грама в евклидовом пространстве
- •7.3. Введение метрики в евклидовом пространстве
- •7.4. Ортонормированные базисы в евклидовом пространстве
- •7.5. Изоморфизм евклидовых пространств
- •VIII. Некоторые виды линейных преобразований евклидовых пространств
- •8.1. Ортогональные линейные преобразования
- •8.2. Сопряженные линейные преобразования
- •8.3. Самосопряженные (симметрические) линейные преобразования
- •IX. Билинейные и квадратичные формы
- •9.1. Линейные формы
- •9.2. Билинейные формы
- •9.3. Квадратичные формы
- •9.4. Закон инерции квадратичных форм
- •9.5. Положительно определённые квадратичные формы
- •9.6. Распадающиеся квадратичные формы
- •Вопросы для подготовки к коллоквиуму «Определители. Матрицы. Линейные пространства»
- •Вопросы для подготовки к экзамену
- •Литература
VI. Линейные операторы
6.1. Определение, примеры и свойства линейных операторов
Пусть L и L1 – два линейных пространства над полем Р .
Определение 31. Отображение линейного пространства L в линейное пространство L1 называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любого элемента Р выполняются условия (а + в) = (а) + (в) и (а) =(а).
Элемент (а) называется образом элемента а , элемент а называется прообразом элемента а.
Определение 31 эквивалентно определению 311:
Отображение линейного пространства L в линейное пространство L1 называется линейным оператором, если для любых векторов а и в из L и любых элементов , Р выполняется условие (а + в) = (а) + (в).
Примеры. 1. Отображение (а) = 01, где а – любой вектор из L , а 01 – нулевой вектор из L1, является, очевидно, линейным оператором. Этот оператор называют нулевым.
2. Отображение (а) = а есть линейный оператор пространства L на себя. Этот линейный оператор называется тождественным.
3. Пусть е = (е1, е2, е3, … , еn ) – базис в пространстве Ln и L1 = <е1, е2, е3>. Пусть (х1е1 + х2е2 + х3е3 + … + хn еn ) = х1е1 + х2е2 + х3е3 . Заданное отображение есть линейный оператор, действующий из пространства L в его подпространство L1. Этот оператор называется проекцией пространства L на L1.
Пусть е = (е1, е2, … , еn ) – базис в пространстве L и f = (f1, f2, … , fn ) – упорядоченная совокупность векторов из L1.
Теорема 31. Существует и только один линейный оператор , действующий из L в L1, при котором (ек ) = fк для всех к = 1, 2, … , n .
Доказательство. Если а – любой вектор из L , то а = х1е1 + х2е2 + … +хn еn . Зададим отображение следующим образом: (а) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn . Так как (а) L1, то действует из L в L1. Если Р, то (а) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn = (х1f1 + х2f2 + … +хn fn) = (а). Если в = у1е1 + у2е2 + … +уn еn , то (а + в) = (х1 + у1) f1 + (х2 + у2 )f2 + … + (хn + уn) fn = (х1f1 + х2f2 + … + хn fn ) + (у1е1 + у2е2 + … +уn еn ) = (а) + (в). Итак, - линейный оператор из L в L1. Кроме того (ек ) = 1fк . Следовательно, - искомый линейный оператор. Обратно, если - любой линейный оператор, при котором (ак ) = fк , то по определению линейного оператора (а) = (х1е1 + х2е2 + … +хn еn) = х1(е1) + х2(е2) + … + хn(еn) = х1f1+ х2f2 +…+ хn fn = (а). Следовательно, - единственный искомый оператор.
Следствие. Для того чтобы задать линейный оператор, действующий из линейного пространства L в линейное пространство L1 достаточно выбрать базис (е1, е2, … , еn ) в пространстве L и упорядоченную систему векторов (f1, f2, … , fn ) в пространстве L1 и задать отображение по правилу: (х1е1 + х2е2 + … +хn еn ) = х1f1 + х2f2 + … + хn fn.
Пример. Даны два линейных пространства L3 и L5 . Пусть е = (е1, е2, е3) и f = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – реперы в L3 и L5 соответственно. Пусть а1 = (1, 4, –1, 3, 0), а2 = (3, 0, 1, –3, 7), а3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор : L3 L5 задан по правилу (х1е1 + х2е2 + х3е3 ) = х1а1 + х2а2 + х3а3. Найти образ вектора с = (5, –1, 3).
Решение. (с) = 5а1 – а2 + 3а3 = (5,20,–5,15,0) – (3,0,1,–3,7) + (3,3,6,6,0) = (5, 23, 0, 24, –7).
Свойства линейных операторов.
Пусть : Ln Lm линейный оператор.
10. (0) = 01, где 0 и 01 – нули пространств Ln и Lm соответственно.
20. Произведение двух линейных операторов есть линейный оператор.
Пусть : Ln Lm и : Lm Lк . Тогда (): Ln Lк . Если а и в – любые два вектора из Ln и - любой элемент из поля Р, то ()(а + в) = ( (а + в)) = ( (а) + (в)) = = ( (а)) + ( (в)) = ()(а) + ()(в); ()(а) = ( (а)) = ( (а)) = = ( ( (а)) = ()(а). Итак, отображение () удовлетворяет всем требованиям определения 31. Следовательно, () – линейный оператор.
Определение 32. Суммой двух линейных операторов : Ln Lm и : Ln Lm называется такое отображение : Ln Lm , что для любого элемента а Ln верно равенство (а) = (а) + (а).
30. Сумма двух линейных операторов есть линейный оператор.
Пусть а, в L и , Р. Тогда (а + в) = (а + в) + (а + в) = ((а) + (в)) + + ((а) + (в)), Следовательно, по определению 311, - линейный оператор, действующий из Ln в Lm .
40. Нулевой линейный оператор играет роль нулевого элемента при сложении линейных операторов.
Определение 32. Произведением линейного оператора : Ln Lm и элемента Р называется такое отображение из Ln в Lm , что ()(а) = ( (а)) для любого а Ln .
50. Произведение линейного оператора на элемент поля Р есть линейный оператор.
Докажите это утверждение самостоятельно.
60. 1 = для любого линейного оператора .
70. 0 – нулевой оператор для любого линейного оператора .
80. Если и – два линейных оператора, , Р, : Ln Lm и : Ln Lm , то ( + ) – линейный оператор, действующий из Ln в Lm .
Теорема 32. Множество линейных операторов, действующих из линейного пространства Ln в Lm является линейным пространством (оба пространства над одним и тем же полем).
Доказательство следует из свойств суммы линейных операторов и произведения линейного оператора на элемент поля Р.