6.4. Связь матриц линейного оператора в разных парах базисов

Пусть даны два линейных пространства L_n и L_m над полем Р. Пусть в L_n зафиксированы базисы е = (е₁, е₂, … , е_n ) и е¹ = (е₁¹, е₂¹, … , е_n¹ ), а в пространстве L_m – базисы f = (f₁, f₂, … , f_m ) и f¹ = (f₁¹, f₂¹, … , f_m¹ ). Пусть : L_n  L_m линейный оператор, А – его матрица в паре базисов е и f и А¹ – матрица этого же оператора в паре базисов е¹ и f¹. Пусть Т – матрица перехода от базиса е к базису е¹, а Q – матрица перехода от f к f¹. Тогда е¹ = еТ,

f¹ = fQ , (е) = fА , (е¹) = f¹А¹. Отсюда ( еТ) = ( fQ )А¹, (е)Т = f(Q А¹). Так как Т – матрица перехода, то она невырожденная, следовательно, существует матрица Т^–1. Из последнего равенства получаем, что (е) = ( f(Q А¹))Т^–1 = f(Q А¹Т^–1). Но (е) = fА. Следовательно, А = Q А¹Т^–1, или А¹ = ТАQ^–1 (34)

Пример. Даны два линейных пространства L₃ и L₅ . Пусть е = (е₁, е₂, е₃) и f = (f₁, f₂, f₃ , f₄ , f₅ ) – реперы в L₃ и L₅ соответственно. Пусть а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), а₃ = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L₅ . Пусть линейный оператор : L₃  L₅ задан по правилу (х₁е₁ + х₂е₂ + х₃е₃ ) = х₁а₁ + х₂а₂ + х₃а₃. Составить матрицу оператора  и найти образ вектора с = (5, –1, 3).

Решение. Для составления матрицы оператора достаточно найти координаты образов базисных элементов пространства L₃ в базисе f пространства L₅ . По данному правилу получим (е₁) = 1а₁ = (1, 4, –1, 3, 0), (е₂) = 1а₂ = (3, 0, 1, –3, 7), (е₃) = 1а₃ = (1, 1, 2, 2, 0). Составим матрицу, столбцами которой являются координаты найденных векторов.

А =

Координаты вектора (с) можно найти по формуле (33), а именно, х1 = Ах .

 = .

Итак, (с) = (5, 23, 0, 24, -7) в пространстве L₅ . (Сравните с решением этого же примера в пункте 6.1.)

6.5. Линейные преобразования линейного пространства

Определение 35. Линейным преобразованием линейного пространства называется линейный оператор данного линейного пространства самого в себя.

 : L  L

Всё, что было сказано о линейных операторах, очевидно, верно и для линейных преобразованиях, но некоторые формулы будут иметь более простой вид. Напомним формулы.

1. Если в пространстве L_n зафиксирован базис е = (е₁, е₂, … , е_n ), то матрица А линейного преобразования  : L_n  L_n имеет вид

А = , столбцы которой – координаты образов базисных векторов е.

(35)

2. Формулы (35) в матричном виде имеют вид (е) = еА.

3. Связь столбцов координат вектора и его образа: х¹ = Ах (36)

4. Если в пространстве L_n зафиксированы два базиса е = (е₁, е₂, … , е_n) и е¹ = (е₁¹,е₂¹, … , е_n¹) и Т – матрица перехода от е к е¹, то связь матриц линейного преобразования в этих базисах задаётся формулой А¹ = ТАТ^–1 (37).

Определение 36. Квадратные матрицы А и В называются подобными, если существует такая квадратная невырожденная матрица С, что В = С^–1АС.

5. Матрицы, задающие линейное преобразование в разных базисах, подобны.

6. Теорема 35. Для любых двух подобных матриц А и В одного и того же порядка n над полем Р и любого линейного пространства L_n над полем Р в L_n существуют такие базисы е и е¹, что данные матрицы будут задавать в этих базисах одно и то же линейное преобразование.

Доказательство. Пусть В = С^–1АС. Зафиксируем в L_n какой-нибудь базис. Матрица А в этом базисе задаёт линейное преобразование (пусть это ). Так как матрица С невырожденная, то С^–1 может быть матрицей перехода. Пусть е¹ = еС^–1. Тогда преобразование  в базисе е¹ будет иметь матрицу С^–1А(С^–1 )^–1 = С^–1АС = В.

7. dim ((L_n )) + dim (Ker ) = n.

8. Множество всех линейных преобразований пространства L_n есть тоже линейное пространство над тем же полем Р, что и пространство L_n .

Определение 37. Линейное пространство линейных преобразований линейного пространства L_n называется линейным пространством, сопряжённым пространству L_n .

Пространство, сопряжённое L_n , обозначается L_n^.

9. Пространство L_n^ изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка n с элементами из поля Р. Следовательно, dim (L_n^ ) = n².