7.4Алгоритм исследования устойчивости системы по критерию Михайлова

1) записывается передаточная функция замкнутой системы. Знаменатель является характеристическим полиномом;

2) в характеристический полином вместо оператора Р подставляем оператор jω;

3) член jω возводится в соответствующую степень i. Если i – четное, то получается действительное число и наоборот. Многочлен Д(jw) приводится к виду:

По этим точкам и строят на комплексной плоскости кривую Михайлова.

Многочлен Д(р) нашей системы равен:

Заменим р в характеристическом многочлене на jω:

Рисунок 11 Годограф Михайлова для скорректированной системы 4-го порядка

Произведем построение годографа Михайлова:

Вывод: система устойчива, т.к. кривая (годограф) Михайлова охватывает начало координат и последовательно проходит четыре квадранта.

7.5Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий основан на исследовании частотных характеристик разомкнутой системы.

Пусть есть некоторая замкнутая система с отрицательной обратной связью:

Рисунок 12 Структурная схема замкнутой системы с ООС

Пусть в заданную систему будет введено воздействие и в системе начался переходной процесс:

Рассмотрим данную систему при некоторой критической частоте ω_кр, такой что: .

Тогда значения коэффициента передачи К могут принимать следующие значения:

1. К<1 (А₂<A₁)

Амплитуда колебаний будет уменьшаться, следовательно переходной процесс будет затухающим. Значит–система устойчива.

2. К=1 (А₂=A₁)

Система находится на грани устойчивости.

3. К>1 (А₂>A₁)

Система неустойчива, переходной процесс незатухающий.

7.6Формулировка критерия Найквиста.

Критерий рассмотрим для двух случаев:

1. Разомкнутая система при отключении обратной связи устойчива.

2. Система неустойчива.

Критерий Найквиста для первого случая формируется так: если разомкнутая система устойчива или находится на границе устойчивости, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении ω от 0 до бесконечности не охватила точку с координатами (-1;j0).

Если АФЧХ при частоте ω_с пересекает вещественную ось слева от точки (-1;j0), то она охватывает данную точку. Это говорит о том, что в разомкнутой системе амплитуда выходного сигнала на данной частоте ω_с больше амплитуды входного сигнала, а сдвиг по фазе между ними равен – π. При замыкании системы и отключения источников внешних колебаний амплитуда выходных колебаний возрастает, т.е. система неустойчива.

Если АФЧХ при частоте ω_с пересекает вещественную ось справа от точки (-1;j0), то она не охватывает данную точку. При сдвиге по фазе между ними равному – π, амплитуда выходного сигнала меньше амплитуды входного сигнала. В этом случае при замыкании системы колебания в ней затухаю, т.е. система устойчива.

Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста имеет такую формулировку: для устойчивости системы в замкнутом состоянии АФЧХ разомкнутой системы должна охватывать точку (-1;j0). При это число пересечений ею отрицательной действительной полуоси левее точки (-1;j0) сверху вниз должно быть на l/2 больше числа пересечений в обратном направлении, где l – число правых полюсов(корни характеристического уравнения) передаточной функции W(P) разомкнутой системы, т.е. число полюсов с положительной действительной частью.

Исследуемая система должна быть устойчива, значит АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞ не должна охватывает точку с координатой (-1;j0).