Тема 7. Дифференциальные уравнения
Литература: 1. Шипачев В.С. Высшая математика. М. Высшая школа. 2008. Гл. 15.
2. Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М. Дело. 2002. Гл. 18.
Методические указания
Уравнение, в которое входят производные искомой функции, называется дифференциальным уравнением. Уравнение, содержащее производную только первого порядка от одной переменой, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Оно имеет общий вид
,
где
F
– заданная функция трех переменных
;
х
– независимая переменная,
искомая функция от х,
– ее производная.
Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида
,
где
– заданная функция. При этом надо иметь
ввиду, что
.
Тогда в более развернутом виде уравнение
примет вид
,
или
.
Отсюда решение этого уравнения имеет вид
,
где С – произвольная постоянная. Решение, содержащее произвольную постоянную, называется общим решением дифференциального уравнения.
Решение, в котором произвольная постоянная имеет определенное значение, обусловленное так называемыми начальными условиями, называется частным решением дифференциального уравнения.
Например, расстояние,
проходимое телом при его движении.
определяется дифференциальным уравнением
(используем обозначения принятые в
физике), при этом
.
Отсюда
или
.
Теперь произведем
разделение переменных s
и t
. Для этого обе части равенства умножим
на
и разделим на s.
Уравнение примет вид
.
Интегрируя
обе части равенства
,
получаем
,
или
.
Знак модуля у расстояния s и времени t, можно опустить, поскольку это заведомо положительные величины. Очевидно,
или
,
то есть, мы получили общее решение заданного дифференциального уравнения.
Что получить
частное решение данного уравнения
необходимо, используя начальное условие,
найти значение
.
,
то есть
,
и
.
Следовательно, частное решение этого уравнения будет иметь вид
.
Рассмотрим еще несколько примеров решений конкретных дифференциальных уравнений
Задача 22. Найти
частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее условию у(0)
= 1.
Решение.
Учитывая, что
,
перепишем данное уравнение в виде:
.
Очевидно, что это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, имеем:
.
Интегрируя обе
части равенства
,
получаем
общее решение
.
Подставляя заданные условием значения переменных х = 0, у = 1, находим значения произвольной постоянной С:
1 = е0 – 0 + С, отсюда С = 2.
Подставляя найденное значение С в общее решение, получаем искомое частное решение:
.
Задача 23. Найти
частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее условию у(1)
= 1.
Решение. Перепишем данное уравнение в более удобном виде:
.
Это также дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные, имеем:
.
Интегрируя обе части этого равенства
,
получаем общее решение:
.
Потенцируя, имеем:
или
.
Обозначив
,
получим общее решение дифференциального
уравнения
.
Подставляя заданные условием значения переменных х = 1, у = 1, находим значения произвольной постоянной С
,
отсюда С
= е.
Подставляя найденное значение С в общее решение, получаем искомое частное решение
,
или
.
Задача 24. Найти
частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее условию у(-2)
= 0.
Решение. Разделим обе части данного уравнения на х, тогда оно примет вид:
Очевидно, что
данное дифференциальное уравнение
линейное. Заменяя у
по формуле
,
имеем
и
или
.
Отсюда для нахождения u и v имеем два уравнения:
и
.
Из первого уравнения находим v:
;
;
и
.
Подставляя во второе уравнение, имеем:
;
;
и
.
Отсюда
.
Теперь умножая u на v, получим общее решение исходного уравнения:
или
.
Подставляя в общее решение заданные условием значения переменных х = -2, у = 0, находим значения произвольной постоянной С
,
отсюда С
= 0.
Подставляя найденное значение С в общее решение, получаем искомое частное решение:
.
Вопросы для самопроверки.
1.Сформулируйте определение дифференциального уравнения.
2. Какая функция называется решением дифференциального уравнения?
3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим; частным?
4. Сформулируйте задачу Коши. Каков алгоритм ее решения?