Задания для контрольной работы

В заданиях 1-10 найти указанные пределы:

1. а) ; б) .

2. а) ; б) .

3. а) ; б) .

4. а) ; б) .

5. а) ; б) .

6. а) ; б) .

7. а) ; б) .

8. а) ; б) .

9. а) ; б) .

10. а) ; б) .

В заданиях 11-20 требуется исследовать данные функции и построить их графики. Исследование функции предусматривает нахождение области определения, точек экстремума, интервалов возрастания и убывания, а также точек перегиба и интервалов выпуклости и вогнутости графиков функции.

11. у = х³ – 9х² + 15х - 3. 12. у =(х² + 1 )( х + 2).

13. у = 1 + 3х² – х³. 14. у = х³ + 6х² + 9х.

15. у = х³ – 12х + 1. 16. у = 8х² – 5х – х³ .

17. у = х² (х – 1) 18. у = х² (4 – х).

19. у = х³ + 3х² - 3. 20. у = –х (х – 1)².

В задачах 21-30 найти частные производные функции двух независимых переменных х и у:

21. а) z = x² – 3x y + 5y² – 7x²y² + 13; б) .

22. а) z = x⁵ – 5x⁴ y³ + 2y⁵ – x²y² + 3; б) .

23. а) z = x⁴ –3x y³ - 2x²y²+ 5y⁴ –23; б) .

24. а) z = x³ – 2x y² +x³ y²+ 7y³ – 0,4; б) .

25. а) z = x² – 4x² y² +8x³ y+ 11y⁴ – 0,14; б) .

26. а) z = x³ – 9x y² +3x⁴ y²+ y³ – 0,64; б) .

27. а) z = x⁴ –3x³ y³ - 2x y²+ y⁴ –2,5; б) .

28. а) z = x⁴ –5x³ y + 4x y³+ y⁵ –32,1; б) .

29. а) z = x³ – 9x y² +3x⁴ y+ 0,2y¹⁰ – 0,21; б) .

30. а) z = x² – 3x³ y +x⁴ y³+ 12y² – 1,13 б) .

В заданиях 31-40 вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

31. у = 6х – х², у = 0. 32. у = х³, у = 8, х = 0.

33. у = 4 – х², у = 0. 34. у = х², у = 2 – х².

35. у = х², . 36. ху = 4, х = 4, у = 4, х = 0, у = 0.

37. у = х², у = 1. 38. у = х³, у = 2 – х, у = 0.

39. у = х² – 4х, у = 0. 40. , у = х.

В заданиях 41-50 найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

41. а) ху' + у = 0, у(–2) = 4; б) ху' – у = х², у(1) = 0.

42. а) х³ у' – 2у² = 0, у(1) = 1; б) ху' – у = х , у(4) = 8.

43. а) 2у' = у, у(4) = 1; б) ху' + 2у = , у(1) = –1.

44. а) х² у' = –у², у(–1) = 1; б) ху' – у = х³, у(2) = 4.

45. а) х³ у' + х = 0, у(1) = 3; б) ху' + у = х + 2, у(1) = 0.

46. а) ху' + у² = 0, у(1) = -1; б) ху' – 2у = х², у(2) = 8.

47. а) х² у' – у = 0, у(1) = 1; б) ху' – у = х⁴, у(1) = 2.

48. а) у у' – = 0, у(1) = 2; б) ху' = у - х, у(1) = 0.

49. а) у у' + х = 0, у(2) = 4; б) ху' – = 2у, у(1) = 4.

50. а) ху' – у = 0, у(–2) = 4; б) ху' + = у, у(1) = 1.

В заданиях 51-60 дан степенной ряд вида . При заданных значениях a и b написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости и исследовать его сходимость на концах интервала:

51. а = 2, b = 3. 52. а = 3, b = 5.

53. а = 2, b = 5. 54. а = 4, b = 3.

55. а = 3, b = 2. 56. а = 3, b = 5.

57. а = 3, b = 4. 58. а = 5, b = 2.

59. а = 2, b = 4. 60. а = 2, b = 6.