Теоретические основы работы

М аятник Максвелла представляет собой однородный диск, насаженный на цилиндрический вал; центры масс диска и вала лежат на оси вращения. На вал радиусом r намотаны нити, концы которых закреплены на кронштейне. При разматывании нитей маятник Максвелла совершает плоское движение (плоским называют такое движение, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях). Плоское движение складывается из поступательного движения центра масс вдоль оси 0y и вращения относительно оси симметрии 0^/z, проходящей через центр масс. При движении маятника Максвелла происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно (разумеется, механическая энергия постепенно убывает в результате действия сил трения (рис. 10.1)).

Плоское движение твердого тела можно представить как сумму движений – поступательного движения центра масс со скоростью  и вращательного движения с угловой скоростью  относительно оси 0^/z, проходящей через центр масс маятника Максвелла. Согласно теореме о движении центра масс центр масс движется как материальная точка, масса которого равна массе системы, а действующая на нее сила – геометрической сумме внешних сил, действующих на систему:

Здесь индекс с обозначает центр масс системы.

Основное уравнение относительно мгновенной оси 0^/z, проходящей через центр масс, имеет вид

.

Здесь I_z - момент инерции маятника относительно оси 0^/z; _z –проекция углового ускорения на ось 0^/z; левая часть – алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно оси 0^/z. Заметим, что момент силы принято считать положительным, если эта сила приводит к вращению тела против часовой стрелки.

Если нить не проскальзывает, то скорость центра масс маятника _с и угловая скорость  связаны кинематическим соотношением

_с= r.

Определение момента инерции маятника Максвелла

Постановка задачи. Определить момент инерции маятника Максвелла, масса которого равна m, радиус вала равен r. При движении вниз маятник проходит расстояние h за время .

Указания к решению. Уравнения поступательного и вращательного движения для маятника Максвелла (рис.10.1) имеют вид

-ma=2T-mg, (10.1)

I=2Tr (10.2)

Отметим, что если нить не проскальзывает во время движения, то

a= r. (10.3)

Отметим, что здесь и в дальнейшем индексы z и с опущены.

Запишем кинематическое соотношение между h и :

(10.4)

Решая систему (10.1)-(10.4), получим

(10.5)

Здесь d=2r – диаметр вала.

Полученный результат сравниваем со значением момента инерции, определяемым из теоретических соображений. Маятник Максвелла состоит из элементов правильной геометрической формы – вала, диска и съемного кольца, материал маятника - однородный. При этом момент инерции маятника Максвелла можно рассчитать по формуле

I=I_в+I_д+I_к. (10.6)