5.2. Динамическая и стохастическая модели управления запасами

5.2.1. Динамическая модель управления запасами

В статистических моделях управления запасами, рассмотренных в разделе 3 параметры запасов принимались постоянными на протяжении всего горизонта планирования. В динамических моделях эти параметры могут изменяться в отдельные периоды времени, что должно учитываться при принятии управленческих решений. При этом оптимальное решение на определенном временном интервале принимается с учетом предыдущего решения, независимо от ранее принятых решений и начального состояния системы.

Рассмотрим плановый период T (например, T = 1 год = 360 дней), который разбивается на n-е количество интервалов времени. Известна величина совокупного спроса на МР, равная B за весь период времени, которая складывается из величин спроса на каждом интервале, B_i, i = 1, 2, ..., n. При этом должны выполняться условия:

B = ∑ B_i; T = ∑ T_i и L_общ = ∑ L_i . (5.1)

i i i

Тогда суммарные затраты на формирование и содержание запаса за весь период будут равны:

L_общ = ∑ [c_i * (S_i – z_i) + h_i * (S_i – B_i)]. (5.2)

i

где c_i – затраты на закупку единицы МР (цена с учетом транспортно-заготовительных расходов) в i –м периоде; S_i – величина запаса, создаваемого на

i – й период; z_i – переходящий запас от периода (i – 1); h_i – расходы на хранение единицы запаса в i –м периоде.

Неизвестным параметром модели (5.2) является S_i, величина которого в условиях мгновенной поставки (τ = 0) и отсутствия переходящего запаса совпадает с размером заказа (S_i = Q_i). В общем случае принимается, что размер заказа определяется как Q_i = S_i – z_i. При этом основным условием данной модели является S_i ≥ B_i, т. е. дефицит в системе не допускается.

Первое слагаемое формулы (5.2), c_i * (S_i – z_i), представляет собой затраты на доведение величины запаса от уровня z_i до уровня S_i на каждом i –м цикле. Второе слагаемое формулы (5.2), h_i * (S_i – B_i), представляет собой расходы по хранению избыточного запаса в i – й период. В свою очередь, параметры c_i и h_i могут быть переменными величинами, например, зависящими от размера заказа (объема партии поставки):

c_i =c_i⁰ - Δ c_i ( Q_i ) и h_i = h₀ + k_h * S_i, (5.3)

где c_i⁰ - затраты на закупку единицы МР без скидок, Δ c_i (Q_i ) - уровень снижения затрат в зависимости от размера заказа; h₀ – некоторые постоянные издержки хранения, не зависящие от размера запасов (например, затраты на содержание склада); k_h - коэффициент пропорциональности, определяющий зависимость увеличения дополнительных расходов на хранение при росте размера запаса.

Решение такой задачи осуществляется на основе принципа оптимальности Р. Беллмана, который заключается в последовательной минимизации затрат в каждом интервале. Причем эта минимизация осуществляется в обратной последовательности, т. е. начиная с последнего периода.

В процессе минимизации затрат для поиска {S_i^*} необходимо использовать свойства функций c_i и h_i. В типичном для практики случае, когда они являются возрастающими функциями и равны нулю при нулевом аргументе, оптимальный уровень запаса для последнего периода будет определяться следующим образом:

B_n при z_n ≤ B_n,

z_n при z_n >B_n.

s_n^* = { (5.4)

Отсюда легко находятся минимальные затраты L_n (z). Доказано, что для любого периода оптимальная стратегия формирования запаса имеет вид:

S_i при z_i ≤ S_i,

z_i при z_i > S_i.

S_i^* ={ (5.5)

Причем функция L_n(z) достигает минимума при z_{n+1 – i} = S_i.

Полученные соотношения позволяют получить простой алгоритм численного решения задачи, представляющий собой набор из n-го количества подзадач, причем последняя из них (i = 1) имеет тривиальное решение.