Вопрос15

Поведение функции на бесконечности.

Введем понятие бесконечности для комплексного числа. Рассмотрим сферу, касающуюся плоскости в точке 0. Сфера представляет собой всё множество комплексных чисел, тогда любая точка комплексной плоскости проектируется на сферу в единственную точку с помощью стереографической проекции точка является точкой пересечения прямой с поверхностью сферы. Если взять некоторую бесконечную последовательность чисел , то последовательность изображающих её точек будет всё ближе и ближе располагаться к точке , поэтому принято считать точку за изображение бесконечной комплексной плоскости и соответствующая ей точка называется бесконечно удаленной точкой. У бесконечно удаленной точки , а не существует. окрестностью бесконечно убывающей точки называют все множество точек, лежащих вне круга радиуса .

В терминах ряда Лорана	В терминах пределов
I. Устранимая особая точка
Если ряд Лорана не содержит правильной части, то есть не имеет положительных степеней, то точка называется устранимой особой точкой:
II. полюс порядка
Если ряд Лорана содержит конечное число слагаемых с положительными степенями, то точка называется полюсом порядка: Порядок полюса равен числу слагаемых с положительными степенями.
III. Существенно-особая точка
Если ряд Лорана содержит бесконечно много членов с положительными степенями, то точка называется существенно-особой точкой:

Вопрос15

Вычеты: Вычетом функции в точке называется число, равное интегралу Где L – некоторый замкнутый контур, лежащий в окрестности точки и содержащий внутри себя только одну единственную особую точку . Кроме того, при разложении в ряд Лорана коэффициенты были равны: I. – устранимая особая точка. Точка называется устранимой особой точкой, если при разложении в ряд Лорана функции не содержит отрицательных степе II. – полюс 1^-ого порядка. Это означает, что функция при разложении в ряд Лорана в окрестности этой точки , содержит только одну отрицательную степень. III. – полюс порядка, Поскольку полюс порядка, то , содержит ровно слагаемых с отрицательными степенями, при разложении её в ряд Лорана, в окрестности точки IV. – существенно-особая точка. Вычет может быть определен только с помощью разложения функции в ряд Лорана.

ВОПРОС17 Основная теорема Коши о вычетах. Теорема: если функция является аналитической в некоторой замкнутой области , ограниченной контуром , за исключением конечного числа особых точек , лежащих внутри этого контура, то Доказательство: пусть функция имеет конечное число особых точек . Выберем область таким образом, чтобы все точки лежали в ней, обведем каждую особую точку контуром, внутри которого не будет других особых точек. И соединим их с контуром гладкими кривыми. Тогда, по теореме Коши о многосвязной области, интеграл будет равен. Таким образом, каждый из этих интегралов фактически равен вычетам, за исключением коэффициентов .